Đến nội dung

Hình ảnh

$\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : $\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$


                                                                                               


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Giải như sau : $\fbox{(x+y+z)^2=5xyz}$  (*)
Giả sử $x',y',z'$ là bộ số thỏa mãn phương trình và $z'$ là số nhỏ nhất (1)
Không giảm tính tổng quát ta giả sử $x' \le y' \le z'$ 
Từ phương trình $(x'+y'+z')^2=5x'y'z'$ suy ra $(x'+y')^2 \vdots z'$ 
Ta xét phương trình $z^2-(5x'y'-2x'-2y')z+(x'+y')^2=0$ ẩn $z$ 
Dễ thấy $z'$ là một nghiệm của phương trình trên ,áp dụng hệ thức Vieta suy ra $\frac{(x'+y')^2}{z'} \in \mathbb{Z}$ 
$\Rightarrow (x',y',\frac{(x'+y')^2}{z'})$ là một nghiệm của phương trình (*) 
Nếu $z'>x'+y'$ thì suy ra $z'>\frac{(x'+y')^2}{z'}$ (mâu thuẫn với (1)) 
Do vậy $x'+y' \ge z'$  Khai triển phương trình ban đầu và chia $2$ vế cho $x'.y'.z'$ cho ta : 
$5 \le \sum \frac{x'}{y'z'}+\sum \frac{2}{x'} \le \frac{10}{x'}$ suy ra $2 \ge x'$ 
Xét $x'=2$ suy ra $2+y' \ge z' \ge y'$ từ đó xét các trường hợp $z'=y'+2,y'+1,y'$ thế vào phương trình (1) 
Tương tự với $x'=1$
Kết luận : Phương trình đã cho vô nghiệm nguyên dương






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh