Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : $\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$
$\left ( x+y+z \right )^{2}=5xyz$
#1
Đã gửi 27-03-2016 - 15:02
#2
Đã gửi 29-03-2016 - 21:12
Giải như sau : $\fbox{(x+y+z)^2=5xyz}$ (*)
Giả sử $x',y',z'$ là bộ số thỏa mãn phương trình và $z'$ là số nhỏ nhất (1)
Không giảm tính tổng quát ta giả sử $x' \le y' \le z'$
Từ phương trình $(x'+y'+z')^2=5x'y'z'$ suy ra $(x'+y')^2 \vdots z'$
Ta xét phương trình $z^2-(5x'y'-2x'-2y')z+(x'+y')^2=0$ ẩn $z$
Dễ thấy $z'$ là một nghiệm của phương trình trên ,áp dụng hệ thức Vieta suy ra $\frac{(x'+y')^2}{z'} \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow (x',y',\frac{(x'+y')^2}{z'})$ là một nghiệm của phương trình (*)
Nếu $z'>x'+y'$ thì suy ra $z'>\frac{(x'+y')^2}{z'}$ (mâu thuẫn với (1))
Do vậy $x'+y' \ge z'$ Khai triển phương trình ban đầu và chia $2$ vế cho $x'.y'.z'$ cho ta :
$5 \le \sum \frac{x'}{y'z'}+\sum \frac{2}{x'} \le \frac{10}{x'}$ suy ra $2 \ge x'$
Xét $x'=2$ suy ra $2+y' \ge z' \ge y'$ từ đó xét các trường hợp $z'=y'+2,y'+1,y'$ thế vào phương trình (1)
Tương tự với $x'=1$
Kết luận : Phương trình đã cho vô nghiệm nguyên dương
- olympiachapcanhuocmo và ineX thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh