Chủ đề này có 1 trả lời

[ineX]

Cho Elip (E) có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

và đường thẳng $d:Ax+By+C=0$

CMR: Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với Elip  (E) là $a^{2}A^{2}+b^{2}B^{2}=C^{2}>0$

[lvx]

Cho Elip (E) có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
và đường thẳng $d:Ax+By+C=0$
CMR: Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với Elip (E) là $a^{2}A^{2}+b^{2}B^{2}=C^{2}>0$

Chứng minh xuôi $(\Rightarrow)$ : Nếu $(E)$ và $d$ tiếp xúc thì có điều kiện $a^2A^2+b^2B^2=C^2$:
Viết lại phương trình của đường thẳng $d$: $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$
Phương trình tham số của ellip trong mặt phẳng $(Oxy)$:
$ \left\{\begin{matrix}x=a\cos t\\y=b\sin t \end{matrix}\right. $
Lấy đạo hàm theo tham số $t$:
$ \left\{\begin{matrix}x'_t=-a\sin t\\y'_t=b\cos t \end{matrix}\right. $
Chú ý: $y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=-\frac{b}{a}\cot t$
Tại $t_0$ nào đó là tiếp điểm, phương trình hoành độ (tham số):
$-\frac{b}{a}\cot t_0=-\frac{A}{B}$
$\Rightarrow \cot t_0 = \frac{aA}{bB}$
Dùng công thức lượng giác:
$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\cot^2 x$
Suy ra:
$\sin t_0 = \frac{b|B|}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}=\frac{bB}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}sign(B)$
với hàm dấu $sign(B)$ được định nghĩa như sau:
$sign(B)=\frac{|B|}{B}=\left\{\begin{matrix}1\;\; if\;\;B> 0\\ -1\;\; if\;\;B< 0\end{matrix}\right.$
Tương tự:
$\cos t_0 = \frac{aA}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}sign(B)$

Thay vào phương trình tham số của ellip $(E)$, ta được tọa độ tiếp điểm:

$\left\{\begin{matrix} x_0=\frac{a^2A}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}sign(B) \\ y_0=\frac{b^2B}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}sign(B)\end{matrix}\right.$

Các tọa độ tiếp điểm này cũng đồng thời thỏa mãn đường thẳng $d$: $Ax_0+By_0+C=0$
Thay vào, ta được:
$\left (\frac{a^2A^2}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}+ \frac{b^2B^2}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}} \right )sign(B) +C=0$
$\frac{a^2A^2+b^2B^2}{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}sign(B) =-C$

Lấy bình phương 2 vế:
$\frac{\left( a^2A^2+b^2B^2\right )^2}{a^2A^2+b^2B^2} =C^2$
$\Rightarrow a^2A^2+b^2B^2=C^2$ (đpcm)

Bạn thử nghĩ phần chứng minh ngược lại xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvx: 02-04-2016 - 13:13