Chủ đề này có 8 trả lời

[minhrongcon2000]

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.
Nguồn: Facebook thầy Cẩn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 03-04-2016 - 09:53

[Ego]

Bài 4b) thì quen lắm rồi, câu trả lời là không.
​Bài 4a). Chọn $n$ sao cho $p - 1\mid n$ và $n \equiv -1\pmod{p}$ (lưu ý là điều này chọn được theo CRT)
​Từ đó ta có $a^{n} = a^{k(p - 1)} \equiv 1\pmod{p}$. Mặt khác $1 \equiv -n\pmod{p}$ nên $a^{n} \equiv -n\pmod{p}$

[Ego]

Bài 6. Thế $n$ bởi $0$ thu được $f(1) = 0$.
Viết lại ii), ta có $f(f(n) + 2) = n - 2$, thế $n$ bởi $f(n)$ ta thu được $f(n + 2) = f(n) - 2$
​Hay $f(n) - f(n + 2) = 2$. Quy nạp ta được $f(0) - f(2k) = 2k$. Thay $k = -1008$ ta có $1 - f(-2016) = -2016$ hay $f(-2016) = 2017$.
​Và tương tự ta cũng thu được $f(1) - f(2k + 1) = 2k$, thế $k = 1007$ ta thu được $0 - f(2015) = 2014$. Từ đó ta có $f(2015) = -2014$.
​Câu hàm hơi bị dễ...

​Từ trên ta có thể quy nạp ra toàn bộ $\mathbb{Z}$ sao cho $f(n) = 1 - n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 02-04-2016 - 16:35

[haichau0401]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

 

Bài 3: Cho ba số thực dương $x$, $y$, $z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:

$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

 

Ta có:

$xyz\geq 0\Leftrightarrow x-xyz\leq x\Leftrightarrow x\leq \frac{x}{1-yz}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$\sum \frac{x}{1-yz}\geq \sum x\Rightarrow (\sum \frac{x}{1-yz})^2\geq (\sum x)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow dpcm$

 Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=0,z=1$

 

$\sum \dfrac{x}{1-yz}\leq \sum \dfrac{x}{1-\dfrac{y^2+z^2}{2}}=2\sum \dfrac{x}{2-(y^2+z^2)}=2\sum \dfrac{x}{2-(1-x^2)}=2\sum \frac{x}{x^2+1}=2\sum \dfrac{x}{x^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}\leq 2\sum \dfrac{x}{4\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum \sqrt{x}\leq \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(\sum x)}\leq \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3\sqrt{3\sum x^2}}=\dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

p/s: Off vài hôm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 02-04-2016 - 16:43

[tranphongk33]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$

 

Lời giải: (cách 1)

 

ĐK: $y\ge 1$

Từ pt2 ta có: $2016\sqrt{y-1}+(y-1)^2=x-1$. Suy ra: $x\ge 1$.

 

Từ pt1 ta có: $VT=3\sqrt[3]{2.2x(x+1)}+2\sqrt{y(2y-1)}\le 2+2x+x+1+y+2y-1=3(x+y)+2=VP$

Dấu = xảy ra khi $x=y=1$. Và nó cũng là nghiệm duy nhất của hệ pt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphongk33: 02-04-2016 - 19:21

[A piece of life]

Bài 5 : 

- Nếu $k=1010$ hiển nhiên không được.

- Ta chứng minh $k=1011$ thỏa mãn: 

Ta chia thành 1010 bộ số : $(1,6); (2,5); (3,4); (2020,7); (2019,8); (2018,9); ,,,; (1014;1013)$ nhận thấy tổng 2 số trong mỗi bộ là số nguyên tố ( $2027$ nguyên tố).

Theo Dirichlet dễ có đpcm.

[ineX]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.
Nguồn: Facebook thầy Cẩn

 

bài hình đã có lời giải ở đây

còn đây là cách sử dụng vector sưu tầm được từ Nguyễn Hoàng Nam

P/s: thánh dog steven thi khối 10 hay 11 thế @@

Hình gửi kèm

• 
• 

[slenderman123]

Bài 4b) thì quen lắm rồi, câu trả lời là không.
​Bài 4a). Chọn $n$ sao cho $p - 1\mid n$ và $n \equiv -1\pmod{p}$ (lưu ý là điều này chọn được theo CRT)
​Từ đó ta có $a^{n} = a^{k(p - 1)} \equiv 1\pmod{p}$. Mặt khác $1 \equiv -n\pmod{p}$ nên $a^{n} \equiv -n\pmod{p}$

Anh giúp em giải chi tiết 4B được không ạ , em cảm ơn nhiều ạ :v

[lethanhtuan213]

Anh giúp em giải chi tiết 4B được không ạ , em cảm ơn nhiều ạ :v

Theo câu a thì với mọi a và p sao cho (a,p) = 1 thì luôn tồn tại n để a^{n}+n \vdots p mà   (b^{n}+n) \vdots (a^{n}+n) => b^{n}+n \vdots p => b^{n}-a^{n} \vdots p  Với mọi n => b - a chia hết cho p 

Điều này vô lí do a khác b, p là số nguyên tố bất kì, nếu chọn p > b - a => Không tồn tại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhtuan213: 04-04-2019 - 20:23