Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#2
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.

Bài này nhìn đề bài có vẻ ghê gớm nhưng thực ra không khó như cái hình thức của nó   :D

Đầu tiên tìm max thì đơn giản rồi. Theo BĐT $AM-GM$ thì 

$$P=\prod_{i=1}^{2015}x_i \leq (\frac{\sum_{i=1}^{2015} x_i}{2015})^{2015}$$

$$=\frac{a^{2015}}{2015^{2015}}$$

$$***$$

Tiếp đến tìm giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng của ta sẽ là dồn biến về biên.

Gọi dãy $x_1,...,x_{2015}$ là dãy thỏa mãn P nhỏ nhất và dãy gồm có $m$ số $b$ và $n$ số $<b$ với $m+n=2015$

Giả sử $n \geq 2$.Không mất tính tổng quát,giả sử $0<x_1\leq x_2 \leq ... \leq x_n <b$

Vì từ giả thiết ta có:

$$ 2014b < x_1+...+x_{2015} <2015b$$

mà $0<x_i \leq b$ nên $2b>x_k+x_j >b$ với mọi $1<k<j<2015$ (*)

Khi đó, $P=x_1.x_2...x_n.b^m$

Do (*) nên ta có thể thay cặp $(x_1,x_n)$ bằng cặp $(x_1+x_n-b,b)$ mà vẫn đảm bảo tổng 2 số không đổi đồng thời hai số sau khi đổi vẫn thỏa mãn điều kiện để bài là $0<x_i<b$

Đặt $P'=(x_1+x_n-b).x_2...x_{n-1}.b^{m+1}$

Xét $$x_1.x_2 - b(x_1+x_n-b)= x_1.x_n + b^2 - b.x_1 - b.x_n$$

$$= (x_1-b)(x_n-b) > 0$$

vì $0 < x_1< x_n < b$. Vậy nên do đó $P'<P$ vô lý với giả thiết ban đầu.

Vậy $n<2$. Mà $n >0$ vì nếu $x_i=b$ với mọi $i$ thì vô lý. Vậy $n=1$

Vậy $P_{min}=(a-2014b).b^{2014}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 07-04-2016 - 22:50

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh