Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp11 Hà Tĩnh năm học 2015-2016

đề thi hsg hà tĩnh lớp 11

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 binh9adt

binh9adt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Neverland
  • Sở thích:Toán, Tin, IT, game, ...

Đã gửi 05-04-2016 - 20:07

Câu 1: Giải phương trình: $$\frac{cos2x+\sqrt{3}sin2x-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3}{\sqrt{sinx}}=0$$.

Câu 2:

           a) Một trường học có 25 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ trong đó có đúng hai cặp vợ chồng. nhà trường chon ngẫu nhiên 5 người trong số 40 giáo viên trên đi công tác. Tính xác suất sao cho trong 5 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng.

           b) Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm thuộc cạnh $CD$ thỏa mãn hai mặt phẳng $(SAM),(SMN)$ vuông góc với nhau. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM,SN$.

           a) Chứng minh tứ giác $MNKH$ nội tiếp được trong một đường tròn và $AM$ vuông góc với $MN$.

           b) Tính diện tích tam giác $AHK$ theo $a$.

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

           b) Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

           Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

Câu 5: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$.

           Chứng minh rằng $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$.


~~~~~~~~~~~~~~ :like  Nếu bạn theo đuổi đam mê .... :lol:  thành công sẽ đuổi theo bạn!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :oto:


#2 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 05-04-2016 - 20:35

Câu 1: Giải phương trình: $$\frac{cos2x+\sqrt{3}sin2x-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3}{\sqrt{sinx}}=0$$.

 

Điều kiện: $sinx>0$

$cos2x+\sqrt{3}sin2x-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3=0$

$1-2sin^{2}x+2\sqrt{3}sinx.cosx-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3=0$

$2\sqrt{3}(sinx-1)-2(sin^{2}x-1)+4(sinx-1)=0$

$(sinx-1)(2\sqrt{3}cosx-2sinx+2)=0$

$(sinx-1)(\sqrt{3}cosx-sinx+2)=0$



#3 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 06-04-2016 - 10:38

Câu bất:

 

Đặt $a=\frac{1}{xy}$, $b=\frac{1}{yz}$ và $c=\frac{1}{xz}$

 

Giả thiết tương đương với : $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

 

Ta phải chứng minh: $a+b+c \geq 2(ab+ac+bc)$

 

Ta có : $a^2+b^2+c^2 +abc+abc+\frac{1}{8} = \frac{9}{8} \geq a^2+b^2+c^2+ \frac{3}{2}.\sqrt{a^2b^2c^2 }$

 

$\geq a^2+b^2+c^2+ \frac{9abc}{2(a+b+c)} \geq ab+ac+bc +\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{(a+b+c)^2}{2}$

 

Từ đó: $S=a+b+c \leq \frac{3}{2}$

 

Mặt khác $2(ab+ac+bc) \leq \frac{2S^2}{3}$

 

Nên ta phải chứng minh $\frac{2S^2}{3} \leq S$. Tương đương với $S(3-2S) \geq 0$ . Đúng

 

Ta có đpcm. Dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 06-04-2016 - 10:39

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#4 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 06-04-2016 - 19:30

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

Câu 5: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$.

           Chứng minh rằng $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$.

Câu 5: 

Cách khác:

Chìa khóa của bài toán này là phát hiện ra đẳng thức:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}\\\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}=1$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=\frac{1}{x^{2}+1} & & \\ b^{2}=\frac{1}{y^{2}+1} & & \\ c^{2}=\frac{1}{z^{2}+1} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$\Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}-1}=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}$

Xây dựng các đẳng thức tương tự, bài toán trở thành chứng minh:

$x+y+z\geq 2\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\\\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

Ta có:

$VT=2\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}}\leq 2\sum \frac{a\sqrt{2}}{b+c}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}.\left ( \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right )\\=\frac{\sqrt{2}}{2}.\left ( \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c} \right )\leq \frac{\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}=\sum \sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}=VP\rightarrow Q.E.D$

Câu 4:

a) $F=\sqrt{2}.\frac{\cos^{2} A-2\cos A+1}{4}+\sqrt{2}.\frac{1+\cos A}{2}+\frac{2+\cos B+\cos C}{2}\\=\sqrt{2}.\frac{\cos^{2} A+3}{4}+\frac{\sqrt{2(\cos^{2} B+\cos^{2} C)}}{2}+1\\=\sqrt{2}.\frac{4-\sin^{2} A+2\sin A}{4}+1=\sqrt{2}.\frac{5-(\sin A-1)^{2}}{4}+1=\frac{4+5\sqrt{2}}{4}$



#5 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-02-2017 - 22:42

 

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

           b) Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

           Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

 

Khi tìm quy luật, ta sẽ đi chứng minh 

$\dfrac{u_{n}}{2n-1} = \dfrac{4}{3} , \forall n \geq 2$ 

Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 

Với $n=2;3$ ta thấy đúng

Giả sử đúng tới $n$, ta chứng minh đúng với $n+1$

Thật vậy, ta có 

$\dfrac{u_{n+1}}{2} = 2+ \dfrac{4}{3}(n-1) = \dfrac{2+4n}{3} $

Suy ra $\dfrac{u_{n+1}}{2n+1} = \dfrac{4}{3} $

Tới đây suy ra 

$u_n = \dfrac{4}{3} . (2n-1) $ 

Thay vô, ta được 

$S_n= \dfrac{4+\dfrac{16}{9} ( 1^2+3^2+...+(2n-1)^2 ) }{n^3} $

Bây giờ ta chỉ cần tìm công thức tính tổng bình phương của các số lẻ 

Dễ tính được $1^2+3^2+5^2+ ... + (2n-1)^2 = \dfrac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2(n-1)n+n-1 $

Tới đây bạn thay vô là xong 



#6 trannhatlong

trannhatlong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-01-2023 - 22:00

Câu bất:

 

Đặt $a=\frac{1}{xy}$, $b=\frac{1}{yz}$ và $c=\frac{1}{xz}$

 

Giả thiết tương đương với : $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

 

Ta phải chứng minh: $a+b+c \geq 2(ab+ac+bc)$

 

Ta có : $a^2+b^2+c^2 +abc+abc+\frac{1}{8} = \frac{9}{8} \geq a^2+b^2+c^2+ \frac{3}{2}.\sqrt{a^2b^2c^2 }$

 

$\geq a^2+b^2+c^2+ \frac{9abc}{2(a+b+c)} \geq ab+ac+bc +\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{(a+b+c)^2}{2}$

 

Từ đó: $S=a+b+c \leq \frac{3}{2}$

 

Mặt khác $2(ab+ac+bc) \leq \frac{2S^2}{3}$

 

Nên ta phải chứng minh $\frac{2S^2}{3} \leq S$. Tương đương với $S(3-2S) \geq 0$ . Đúng

 

Ta có đpcm. Dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

 

tại sao 

$ \frac{9abc}{2(a+b+c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trannhatlong: 25-01-2023 - 22:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh