Chủ đề này có 1 trả lời

[binh9adt]

b) Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

           Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

 

# Thảo luận về đề thi HSG 11 tỉnh Hà Tĩnh 2015- 2016 tại đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binh9adt: 05-04-2016 - 20:12

[dark templar]

Ta có thể viết lại công thức truy hồi dưới dạng :

$$u_{n+1}=u_{n}+\frac{2u_n}{2n-1}=\frac{2n+1}{2n-1}u_n=\frac{2n+1}{2n-1}.\frac{2n-1}{2n-3}u_{n-1}=....=\frac{2n+1}{2.1-1}u_1=2(2n+1)$$

 

Vậy :

$\lim \frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}=\lim \frac{4}{n^{3}}\left ( \sum_{k=1}^{n}\left ( 2k-1 \right )^{2} \right )=\lim \frac{4}{n^{3}}\left ( 4\sum_{k=1}^{n}k^{2}+n-4\sum_{k=1}^{n}k \right )$

$=\lim \frac{4}{n^{3}}\left ( \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+n-2n(n+1) \right )=\frac{16}{3}$