Chủ đề này có 1 trả lời

[binh9adt]

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

# Thảo luận về đề thi HSG 11 tỉnh Hà Tĩnh 2015- 2016 tại đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binh9adt: 05-04-2016 - 20:20

[dark templar]

 

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

# Thảo luận về đề thi HSG 11 tỉnh Hà Tĩnh 2015- 2016 tại đây.

 

Theo C-S:

$$\sin^{2}A\geqslant \cos^{2}B+\cos^{2}C\geqslant \frac{\left ( \cos B+\cos C \right )^{2}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin A\geqslant \left | \cos B+\cos C \right |\geqslant \cos B+\cos C$$

 

Biến đổi:

$$F=\sqrt{2}\sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}\cos^{2}\frac{A}{2}+1+\frac{\cos B+\cos C}{2}\leqslant \sqrt{2}\left ( \sin^{4}\frac{A}{2}+1-\sin^{2}\frac{A}{2}+2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}\right)+1$$

 

Đặt $t=\sin\frac{A}{2}$ thì $\cos\frac{A}{2}=\sqrt{1-t^2}$ và $0<t<1$.Khi đó $F \leqslant \sqrt{2}f(t)+1$ với $f(t)=t^4+1-t^2+2t\sqrt{1-t^2}$

 

Khảo sát hàm $f(t)$ trên khoảng $(0,1$ với $f'(t)=\frac{2\left ( 2t^{2}-1 \right )\left ( t\sqrt{1-t^{2}}-1 \right )}{\sqrt{1-t^{2}}}$

 

Để ý rằng $t\sqrt{1-t^2}-1<0,\forall t \in (0,1)$ nên $f'(t)=0$ có nghiệm là $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $f'(t)$ trái dấu với $2t^2-1$.

 

Do đó $\max_{0<t<1} f(t)=f\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{7}{4}$.

 

Vậy ta có $F \leqslant \sqrt{2}f(t)+1 \leqslant 1+\frac{7\sqrt{2}}{4}$.$F_{\max}=1+\frac{7\sqrt{2}}{4}$ khi $B=C=\frac{\pi}{4};A=\frac{\pi}{2}$