Chủ đề này có 2 trả lời

[Uchiha sisui]

Với x,y là các số thực dương , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}} + \sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

[githenhi512]

Vs a>0 tc: $\sqrt{1+a^{3}}=\sqrt{(1+a)(1-a+a^{2})}\leq \frac{2+a^{2}}{2}(1)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=0 h a=2$

Áp dụng (1) tc: $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}=\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+(2y)^{3}}}$

                         $\geq \frac{2}{(\frac{2y}{x})^{2}+2}=\frac{x^{2}}{2y^{2}+x^{2}}$

  $\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}=\sqrt{\frac{4}{1+(\frac{x+y}{y})^{3}}}$

                        $\geq \frac{4y^{2}}{(x+y)^{2}+2y^{2}}\geq \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

Dđ: P $\geq 1$

[KietLW9]

Với x,y là các số thực dương , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}} + \sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

          $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$