Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 *Quang_Huy*

*Quang_Huy*

    Là ai ko quan trọng !

  • Hiệp sỹ
  • 652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Dược HN
  • Sở thích:Thích nhiều thứ.

Đã gửi 22-05-2006 - 10:07

Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$

Chẳng bao giờ em đến được với anh.
Chỉ một lần ... một lần thôi và mãi mãi
Vần thơ em vẫn nhuốm màu dang dở
Một nửa anh...một nửa em..nửa dại khờ.
Chẳng bao giờ ta đến được với nhau...
Phút yêu thương chỉ là trong mộng tưởng
Cố gạt lòng...dừng nhớ lại nhớ thêm...


 


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 19-01-2013 - 21:00

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 20/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 20-01-2013 - 20:20

Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$


Đã rất cố gắng tìm một lời giải thuần túy hình học nhưng... :( chắc mình đã lão hóa ngu si ra rồi

Một lẽ tự nhiên, ta sẽ tọa độ hóa bài toán.

Trong không gian Euclide 3 chiều, chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho

$A(0;0;0) \;\;, B(c,0,0) \;\;, C(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c};\dfrac{\sqrt{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c^2))}}{2c})$

Để đơn giản, đặt $C(x_0;y_0)$

Nếu $d$ đi qua $A$ và nằm trong $Oxy$, khi đó $B,C,B',C'$ đồng phẳng, do đó $V_{BCB'C'}=0$

Xét $d \not\subset (Oxy) $

suy ra phương trình của $d$ : $$\begin{cases} x=ut \\ y=vt \\ z=wt \end{cases} \;\;\;, w \neq 0, (u,v,w) \in \mathbb{R}^3, t\; \text{là tham số thực}$$

$d$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(u;v;w) \;\;, w \neq 0$

$$B' \in d \Rightarrow B'(ut_C,vt_C,wt_C)\;\;,t_C \in \mathbb{R}$$

Do $B'$ là hình chiếu của $B$ trên $d$ nên $\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{u}=0$

$$\Rightarrow B'(\dfrac{u^2c}{u^2+v^2+w^2});\dfrac{uvc}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{uwc}{u^2+v^2+w^2})$$

Tương tự ta cũng có $$C'(\dfrac{u(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{v(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{w(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2})$$

Suy ra $$\overrightarrow{C'B'}=(\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}u;\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}v;\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}w)$$

Phương trình $BC:$ $$\begin{cases} x=c+(x_0-c)t \\ y=y_0t \\ z=0 \end{cases} \;\;, t \in \mathbb{R}$$

$BC$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}=(x_0-c;y_0;0)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa $BC$ và $B'C'$ , suy ra

$$\cos \alpha = \dfrac{\left| u(x_0-c)+vy_0 \right|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}.\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}}$$

$$d(BC;B'C')=\dfrac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{AB}|}{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|}$$

$$=\dfrac{|cy_0w|}{\sqrt{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)+(uy_0-v(x_0-c))^2}}$$

$$\le \dfrac{|cy_0w|}{\sqrt{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)}}$$

Dấu bằng xảy ra khi $uy_0=v(x_0-c)$

Ta có $$V_{BCB'C'}=\dfrac{1}{6}BC.B'C'.\sin(\alpha).d(BC,B'C')$$

$$\Rightarrow V_{BCB'C'}^2=\dfrac{1}{36}BC^2.B'C'^2.(1-\cos^2 \alpha)d^2(BC,B'C')$$

$=\dfrac{a^2}{36}.\dfrac{(u(x_0-c)+vy_0)^2}{u^2+v^2+w^2}\dfrac{(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2)-(u(x_0-c)+vy_0)^2}{(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2)}).d^2(BC,B'C')$

$$\overset{AM-GM \; \text{cho tử thức}}{\le} \dfrac{a^2}{144} \left((x_0-c)^2+y_0^2 \right) d^2(BC,B'C')$$

$$\le \dfrac{a^2}{144} \left((x_0-c)^2+y_0^2 \right).\dfrac{c^2y_0^2w^2}{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)}=\dfrac{a^2c^2y_0^2}{144}$$

Dấu bằng xảy ra khi $$\begin{cases} (u(x_0-c)+vy_0)^2=\dfrac{1}{2}(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2) \\ uy_0=v(x_0-c) \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} u=\dfrac{x_0-c}{\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}}w \\ v=\dfrac{y_0}{\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}} w \\ w \in \mathbb{R}^* \end{cases}$$

( Dễ thấy $u^2+v^2=w^2 $ )

$$\max V_{BCB'C'}^2=\dfrac{a^2c^2}{144}y_0^2=\dfrac{a^2}{576}((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)$$

$$\Leftrightarrow \max V_{BCB'C'}=\dfrac{1}{24} a\sqrt{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 20-01-2013 - 20:22

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:04

Chấm bài:
phudinhgioihan: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh