Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$
#1
Đã gửi 22-05-2006 - 10:07
- E. Galois, hoangkkk và phudinhgioihan thích
Chẳng bao giờ em đến được với anh.
Chỉ một lần ... một lần thôi và mãi mãi
Vần thơ em vẫn nhuốm màu dang dở
Một nửa anh...một nửa em..nửa dại khờ.
Chẳng bao giờ ta đến được với nhau...
Phút yêu thương chỉ là trong mộng tưởng
Cố gạt lòng...dừng nhớ lại nhớ thêm...
#2
Đã gửi 19-01-2013 - 21:00
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 20/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#3
Đã gửi 20-01-2013 - 20:20
Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$
Đã rất cố gắng tìm một lời giải thuần túy hình học nhưng... chắc mình đã lão hóa ngu si ra rồi
Một lẽ tự nhiên, ta sẽ tọa độ hóa bài toán.
Trong không gian Euclide 3 chiều, chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho
$A(0;0;0) \;\;, B(c,0,0) \;\;, C(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c};\dfrac{\sqrt{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c^2))}}{2c})$
Để đơn giản, đặt $C(x_0;y_0)$
Nếu $d$ đi qua $A$ và nằm trong $Oxy$, khi đó $B,C,B',C'$ đồng phẳng, do đó $V_{BCB'C'}=0$
Xét $d \not\subset (Oxy) $
suy ra phương trình của $d$ : $$\begin{cases} x=ut \\ y=vt \\ z=wt \end{cases} \;\;\;, w \neq 0, (u,v,w) \in \mathbb{R}^3, t\; \text{là tham số thực}$$
$d$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(u;v;w) \;\;, w \neq 0$
$$B' \in d \Rightarrow B'(ut_C,vt_C,wt_C)\;\;,t_C \in \mathbb{R}$$
Do $B'$ là hình chiếu của $B$ trên $d$ nên $\overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{u}=0$
$$\Rightarrow B'(\dfrac{u^2c}{u^2+v^2+w^2});\dfrac{uvc}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{uwc}{u^2+v^2+w^2})$$
Tương tự ta cũng có $$C'(\dfrac{u(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{v(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2};\dfrac{w(ux_0+vy_0)}{u^2+v^2+w^2})$$
Suy ra $$\overrightarrow{C'B'}=(\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}u;\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}v;\dfrac{u(x_0-c)+vy_0}{u^2+v^2+w^2}w)$$
Phương trình $BC:$ $$\begin{cases} x=c+(x_0-c)t \\ y=y_0t \\ z=0 \end{cases} \;\;, t \in \mathbb{R}$$
$BC$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}=(x_0-c;y_0;0)$
Gọi $\alpha$ là góc giữa $BC$ và $B'C'$ , suy ra
$$\cos \alpha = \dfrac{\left| u(x_0-c)+vy_0 \right|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}.\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}}$$
$$d(BC;B'C')=\dfrac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}].\overrightarrow{AB}|}{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|}$$
$$=\dfrac{|cy_0w|}{\sqrt{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)+(uy_0-v(x_0-c))^2}}$$
$$\le \dfrac{|cy_0w|}{\sqrt{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)}}$$
Dấu bằng xảy ra khi $uy_0=v(x_0-c)$
Ta có $$V_{BCB'C'}=\dfrac{1}{6}BC.B'C'.\sin(\alpha).d(BC,B'C')$$
$$\Rightarrow V_{BCB'C'}^2=\dfrac{1}{36}BC^2.B'C'^2.(1-\cos^2 \alpha)d^2(BC,B'C')$$
$=\dfrac{a^2}{36}.\dfrac{(u(x_0-c)+vy_0)^2}{u^2+v^2+w^2}\dfrac{(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2)-(u(x_0-c)+vy_0)^2}{(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2)}).d^2(BC,B'C')$
$$\overset{AM-GM \; \text{cho tử thức}}{\le} \dfrac{a^2}{144} \left((x_0-c)^2+y_0^2 \right) d^2(BC,B'C')$$
$$\le \dfrac{a^2}{144} \left((x_0-c)^2+y_0^2 \right).\dfrac{c^2y_0^2w^2}{w^2((x_0-c)^2+y_0^2)}=\dfrac{a^2c^2y_0^2}{144}$$
Dấu bằng xảy ra khi $$\begin{cases} (u(x_0-c)+vy_0)^2=\dfrac{1}{2}(u^2+v^2+w^2)((x_0-c)^2+y_0^2) \\ uy_0=v(x_0-c) \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} u=\dfrac{x_0-c}{\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}}w \\ v=\dfrac{y_0}{\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}} w \\ w \in \mathbb{R}^* \end{cases}$$
( Dễ thấy $u^2+v^2=w^2 $ )
$$\max V_{BCB'C'}^2=\dfrac{a^2c^2}{144}y_0^2=\dfrac{a^2}{576}((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)$$
$$\Leftrightarrow \max V_{BCB'C'}=\dfrac{1}{24} a\sqrt{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 20-01-2013 - 20:22
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh