Đến nội dung

Hình ảnh

Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

* * * * * 1 Bình chọn nguyenhuyen_ag

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 72 trả lời

#1
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 1

 

Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

$$\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \\ x + y + z = 5 \end{matrix}\right.$$
 Chứng minh rằng:
$1 \leq x, y, z \leq \frac{7}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-04-2016 - 23:26


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài này dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá

\[9 = a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2+\frac{1}{2}(b+c)^2 = a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2,\]

rồi đi giải bất phương trình

\[a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2 \leqslant 9,\]

ta sẽ có điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Em cảm ơn anh, ý tưởng giải của em cũng tương tự. :)



#4
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 2

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$$\left\{\begin{matrix}xy + yz + zx = \frac{3}{2} \\ xyz = \frac{1}{4} \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
$$P = x^{3} + y^{3} + z^{3}.$$


#5
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Mọi người có thể cho em xin cách tiếp cận cho bài toán này không ạ?

 

 :)



#6
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 3

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$1) x + y + z = 4,$
$2) xy + yz + zx = 5.$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$a) x?$
$b) P = x^{3} + y^{3} + z^{3}?$


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Đề bài: Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$1) x + y + z = 4,$
$2) xy + yz + zx = 5.$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$a) x?$
$b) P = x^{3} + y^{3} + z^{3}?$

 

 

Bài này khá quen thuộc nên anh gợi ý thôi nhé.

 

a) Từ giả thiết áp dụng đẳng thức

\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx),\]

ta sẽ tính được $x^2+y^2+z^2,$ giả sử là $M$ chẳng hạn. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[M = x^2+y^2+z^2 \geqslant x^2+\frac{1}{2}(y+z)^2 = x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2.\]

Giải bất phương trình \[x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2 \leqslant M,\] ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x.$

 

b) Ta có đẳng thức

\[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3[(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz],\]

thế giả thiết của bài toán vào ta sẽ biểu diễn $x^3+y^3+z^3$ theo $xyz.$ Như vậy bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của $xyz.$

 

Ở phần a) ta tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x$ giả sử lần lượt là $a$ và $b$ tương tự cho $y,\,z.$ Tóm lại $a \leqslant x,y,z \leqslant b.$ Giá trị nhỏ nhất của $xyz$ có được bằng cách khai triển

\[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant 0.\]

Còn giá trị lớn nhất của $xyz$ có được nhờ khai triển

\[(x-b)(y-b)(z-b) \leqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.

 

 Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này?

 

 :)



#9
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 4

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$


#10
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.

 

 Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này? :)

 

Cái này là do câu a) đó em. Do $a \leqslant x,y,z \leqslant b$ mà $x+y+z$ và $xy+yz+zx$ là hằng số nên anh nghĩ đến việc dùng đa thức đối xứng là xét khai triển \[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant  0,\] và đánh giá này rất chặt vì chỉ cần trong ba số bằng $a$ thì ta có đắng thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 12-04-2016 - 22:46

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#11
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có ai có ý tưởng gì cho bài toán này không ạ?

 :)



#12
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 5

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )> 0.$
Chứng minh rằng:
 
$\frac{\left | y-z \right |}{\sqrt{x^{2}+2yz}}+\frac{\left | z-x \right |}{\sqrt{y^{2}+2zx}}+\frac{\left | x-y \right |}{\sqrt{z^{2}+2xy}}\geq 2.$


#13
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 

Đề bài:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$

 

 

Giả sử $z$ là số nhỏ nhất trong ba số khi đó từ giả thiết của bài toán ta được $x+y-z=2\sqrt{xy}.$ Từ đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM để kết thúc bài toán.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#14
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có ai có cách khác so với việc xét hàm số bậc 3 theo $x+y+z$ ở bài toán 2 không ạ?

 

  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:48


#15
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có thành viên nào giải được bài toán 4 ở trên bằng việc chuẩn hoá không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:49


#16
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đề bài 6

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$


#17
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

 

Đề bài 6

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$

 

bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT :)))

p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại 

một bài toán thú vị khác

 

Bài 7:  Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :

 
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$
 
với $t\geq 0$. Khi đó ta có :
 
$1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-04-2016 - 21:35


#18
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 7 của bạn thật sự là một mở rộng của những đánh giá ở bài 1 và bài 3 ở trên.

 Mình nghĩ nên nói rõ hơn ở việc đặt $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$.



#19
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 7 cũng chính là ý tưởng khởi nguồn cho chuỗi các bài toán trên :).



#20
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 

bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT :)))

p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại 

một bài toán thú vị khác

Bài 7:  Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :

 
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$
 
với $t\geq 0$. Khi đó ta có :
 
$1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}$

 

 Bạn có thể nói rõ hơn về ý tưởng dùng Bổ đề Hoán vị được không?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyenhuyen_ag

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh