Đề bài 1
Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-04-2016 - 23:26
Đề bài 1
Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-04-2016 - 23:26
Bài này dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá
\[9 = a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2+\frac{1}{2}(b+c)^2 = a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2,\]
rồi đi giải bất phương trình
\[a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2 \leqslant 9,\]
ta sẽ có điều phải chứng minh.
Em cảm ơn anh, ý tưởng giải của em cũng tương tự.
Đề bài 2
Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
Mọi người có thể cho em xin cách tiếp cận cho bài toán này không ạ?
Đề bài 3
Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
Đề bài: Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
$1) x + y + z = 4,$$2) xy + yz + zx = 5.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:$a) x?$$b) P = x^{3} + y^{3} + z^{3}?$
Bài này khá quen thuộc nên anh gợi ý thôi nhé.
a) Từ giả thiết áp dụng đẳng thức
\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx),\]
ta sẽ tính được $x^2+y^2+z^2,$ giả sử là $M$ chẳng hạn. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[M = x^2+y^2+z^2 \geqslant x^2+\frac{1}{2}(y+z)^2 = x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2.\]
Giải bất phương trình \[x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2 \leqslant M,\] ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x.$
b) Ta có đẳng thức
\[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3[(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz],\]
thế giả thiết của bài toán vào ta sẽ biểu diễn $x^3+y^3+z^3$ theo $xyz.$ Như vậy bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của $xyz.$
Ở phần a) ta tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x$ giả sử lần lượt là $a$ và $b$ tương tự cho $y,\,z.$ Tóm lại $a \leqslant x,y,z \leqslant b.$ Giá trị nhỏ nhất của $xyz$ có được bằng cách khai triển
\[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant 0.\]
Còn giá trị lớn nhất của $xyz$ có được nhờ khai triển
\[(x-b)(y-b)(z-b) \leqslant 0.\]
Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.
Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này?
Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.
Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này?
Cái này là do câu a) đó em. Do $a \leqslant x,y,z \leqslant b$ mà $x+y+z$ và $xy+yz+zx$ là hằng số nên anh nghĩ đến việc dùng đa thức đối xứng là xét khai triển \[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant 0,\] và đánh giá này rất chặt vì chỉ cần trong ba số bằng $a$ thì ta có đắng thức.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 12-04-2016 - 22:46
Có ai có ý tưởng gì cho bài toán này không ạ?
Đề bài 5
Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
Đề bài:
Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$Chứng minh rằng:$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$
Giả sử $z$ là số nhỏ nhất trong ba số khi đó từ giả thiết của bài toán ta được $x+y-z=2\sqrt{xy}.$ Từ đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM để kết thúc bài toán.
Có ai có cách khác so với việc xét hàm số bậc 3 theo $x+y+z$ ở bài toán 2 không ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:48
Có thành viên nào giải được bài toán 4 ở trên bằng việc chuẩn hoá không ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:49
Đề bài 6
Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
Đề bài 6
Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$Chứng minh rằng:$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$
bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT )
p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại
một bài toán thú vị khác
Bài 7: Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-04-2016 - 21:35
Bài toán 7 của bạn thật sự là một mở rộng của những đánh giá ở bài 1 và bài 3 ở trên.
Mình nghĩ nên nói rõ hơn ở việc đặt $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$.
Bài toán 7 cũng chính là ý tưởng khởi nguồn cho chuỗi các bài toán trên .
bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT )
p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại
một bài toán thú vị khác
Bài 7: Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$với $t\geq 0$. Khi đó ta có :$1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}$
Bạn có thể nói rõ hơn về ý tưởng dùng Bổ đề Hoán vị được không?
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
BĐT-Giả thiết đồng bậc-2Bắt đầu bởi MathematicsNMN2016, 27-04-2016 nguyenhuyen_ag |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh