Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Topic tập hợp các BĐT đánh giá từng biến

nguyenhuyen_ag

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 72 trả lời

#1 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 09-04-2016 - 22:34

Đề bài 1

 

Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

$$\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \\ x + y + z = 5 \end{matrix}\right.$$
 Chứng minh rằng:
$1 \leq x, y, z \leq \frac{7}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-04-2016 - 23:26


#2 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-04-2016 - 00:43

Bài này dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá

\[9 = a^2+b^2+c^2 \geqslant a^2+\frac{1}{2}(b+c)^2 = a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2,\]

rồi đi giải bất phương trình

\[a^2+\frac{1}{2}(5-a)^2 \leqslant 9,\]

ta sẽ có điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 10-04-2016 - 20:33

 Em cảm ơn anh, ý tưởng giải của em cũng tương tự. :)



#4 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 10-04-2016 - 22:12

Đề bài 2

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$$\left\{\begin{matrix}xy + yz + zx = \frac{3}{2} \\ xyz = \frac{1}{4} \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
$$P = x^{3} + y^{3} + z^{3}.$$


#5 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 11-04-2016 - 21:19

 Mọi người có thể cho em xin cách tiếp cận cho bài toán này không ạ?

 

 :)



#6 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 11-04-2016 - 22:02

Đề bài 3

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$1) x + y + z = 4,$
$2) xy + yz + zx = 5.$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$a) x?$
$b) P = x^{3} + y^{3} + z^{3}?$


#7 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2016 - 16:45

Đề bài: Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$1) x + y + z = 4,$
$2) xy + yz + zx = 5.$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:
$a) x?$
$b) P = x^{3} + y^{3} + z^{3}?$

 

 

Bài này khá quen thuộc nên anh gợi ý thôi nhé.

 

a) Từ giả thiết áp dụng đẳng thức

\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx),\]

ta sẽ tính được $x^2+y^2+z^2,$ giả sử là $M$ chẳng hạn. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[M = x^2+y^2+z^2 \geqslant x^2+\frac{1}{2}(y+z)^2 = x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2.\]

Giải bất phương trình \[x^2+\frac{1}{2}(4-x)^2 \leqslant M,\] ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x.$

 

b) Ta có đẳng thức

\[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3[(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz],\]

thế giả thiết của bài toán vào ta sẽ biểu diễn $x^3+y^3+z^3$ theo $xyz.$ Như vậy bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của $xyz.$

 

Ở phần a) ta tìm được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $x$ giả sử lần lượt là $a$ và $b$ tương tự cho $y,\,z.$ Tóm lại $a \leqslant x,y,z \leqslant b.$ Giá trị nhỏ nhất của $xyz$ có được bằng cách khai triển

\[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant 0.\]

Còn giá trị lớn nhất của $xyz$ có được nhờ khai triển

\[(x-b)(y-b)(z-b) \leqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 12-04-2016 - 21:37

 Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.

 

 Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này?

 

 :)



#9 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 12-04-2016 - 21:59

Đề bài 4

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$


#10 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-04-2016 - 22:44

 Em cảm ơn anh, câu a) này em đã đưa lên một bài tương tự trước đó.

 

 Câu b) anh có thể nói rõ hơn việc xét tích $(x-a)(y-a)(z-a)$ và $(x-b)(y-b)(z-b)$, em muốn biết từ đâu anh nghĩ đến việc này? :)

 

Cái này là do câu a) đó em. Do $a \leqslant x,y,z \leqslant b$ mà $x+y+z$ và $xy+yz+zx$ là hằng số nên anh nghĩ đến việc dùng đa thức đối xứng là xét khai triển \[(x-a)(y-a)(z-a) \geqslant  0,\] và đánh giá này rất chặt vì chỉ cần trong ba số bằng $a$ thì ta có đắng thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 12-04-2016 - 22:46

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#11 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 13-04-2016 - 21:57

 Có ai có ý tưởng gì cho bài toán này không ạ?

 :)



#12 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 13-04-2016 - 22:21

Đề bài 5

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )> 0.$
Chứng minh rằng:
 
$\frac{\left | y-z \right |}{\sqrt{x^{2}+2yz}}+\frac{\left | z-x \right |}{\sqrt{y^{2}+2zx}}+\frac{\left | x-y \right |}{\sqrt{z^{2}+2xy}}\geq 2.$


#13 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-04-2016 - 23:38

 

Đề bài:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$

 

 

Giả sử $z$ là số nhỏ nhất trong ba số khi đó từ giả thiết của bài toán ta được $x+y-z=2\sqrt{xy}.$ Từ đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM để kết thúc bài toán.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#14 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 14-04-2016 - 22:02

 Có ai có cách khác so với việc xét hàm số bậc 3 theo $x+y+z$ ở bài toán 2 không ạ?

 

  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:48


#15 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 14-04-2016 - 22:06

 Có thành viên nào giải được bài toán 4 ở trên bằng việc chuẩn hoá không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 15-04-2016 - 20:49


#16 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 14-04-2016 - 22:10

Đề bài 6

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$


#17 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 15-04-2016 - 09:26

 

Đề bài 6

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
Chứng minh rằng:
 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$

 

bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT :)))

p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại 

một bài toán thú vị khác

 

Bài 7:  Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :

 
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$
 
với $t\geq 0$. Khi đó ta có :
 
$1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-04-2016 - 21:35


#18 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-04-2016 - 20:59

 Bài toán 7 của bạn thật sự là một mở rộng của những đánh giá ở bài 1 và bài 3 ở trên.

 Mình nghĩ nên nói rõ hơn ở việc đặt $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$.



#19 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-04-2016 - 21:00

 Bài toán 7 cũng chính là ý tưởng khởi nguồn cho chuỗi các bài toán trên :).



#20 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-04-2016 - 21:01

 

bài ni có 1 ý tưởng đó là dùng bổ đề hoán vị nhưng thấy rắc rối quá và cái bổ đề cũng khó chứng minh nữa :3 @@ ta cũng có thể tổng quát lên thành đề VMEO tháng 11 THPT :)))

p/s ai có thể dùng phân tích p,q,r giải dc ko vại 

một bài toán thú vị khác

Bài 7:  Cho n số thực$ x_1,x_2,...,x_n thoả mãn x_1+x_2+...+x_n=n$. Đặt :

 
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n+n(n-1)t^2$
 
với $t\geq 0$. Khi đó ta có :
 
$1-(n-1)t\leq x_i\leq 1+(n-1)t,\;\forall i=\overline{1,n}$

 

 Bạn có thể nói rõ hơn về ý tưởng dùng Bổ đề Hoán vị được không?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyenhuyen_ag

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh