Chủ đề này có 72 trả lời

[MathematicsNMN2016]

Đề bài toán 8:

 

Cho x, y và z là ba số thực có tổng khác 0, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{12}\leq \frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{\left ( x+y+z \right )^{3}}\leq \frac{5}{36}.$

[Nguyenhuyen_AG]

 

Đề bài 5

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )> 0.$

Chứng minh rằng:

 

$\frac{\left | y-z \right |}{\sqrt{x^{2}+2yz}}+\frac{\left | z-x \right |}{\sqrt{y^{2}+2zx}}+\frac{\left | x-y \right |}{\sqrt{z^{2}+2xy}}\geq 2.$

 

 

Bài này mấu chốt là $z^2+2xy=(y-z)^2+(z-x)^2$ khi đó áp dụng kết quả quen thuộc \[\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} \geqslant 2\] với $a,b,c$ là các số thực không âm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 15-04-2016 - 23:06

[Nguyenhuyen_AG]

 

Đề bài 6

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5.$

 

 

Giả sử $x = \max\{x,\,y,\,z\}$ khi đó từ giả thiết của bài toán ta được $\sqrt{x} = \sqrt{y}+\sqrt{z}.$ Điều cần chứng minh trở thành \[\frac{\left ( \sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^2}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{\left ( \sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^2} \geqslant 5. \quad (1)\] Đặt $t = \sqrt{\frac{y}{z}},$ thì $(1)$ tương đương với \[\frac{(t+1)^2}{t^2} + t^2 + \frac{1}{(t+1)^2} \geqslant 5.\] Hiển nhiên đúng vì \[\frac{(t+1)^2}{t^2} + t^2 + \frac{1}{(t+1)^2} - 5 = \frac{(t^3+t^2-2t-1)^2}{t^2(t+1)^2} \geqslant 0.\] Bài toán được chứng minh.

 

 

Đề bài toán 8:

 

Cho x, y và z là ba số thực có tổng khác 0, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{12}\leq \frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{\left ( x+y+z \right )^{3}}\leq \frac{5}{36}.$

 

 

Bài này làm tương tự với ý tưởng trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 15-04-2016 - 23:15

[MathematicsNMN2016]

Giả sử $x = \max\{x,\,y,\,z\}$ khi đó từ giả thiết của bài toán ta được $\sqrt{x} = \sqrt{y}+\sqrt{z}.$ Điều cần chứng minh trở thành \[\frac{\left ( \sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^2}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{\left ( \sqrt{y}+\sqrt{z} \right )^2} \geqslant 5. \quad (1)\] Đặt $t = \sqrt{\frac{y}{z}},$ thì $(1)$ tương đương với \[\frac{(t+1)^2}{t^2} + t^2 + \frac{1}{(t+1)^2} \geqslant 5.\] Hiển nhiên đúng vì \[\frac{(t+1)^2}{t^2} + t^2 + \frac{1}{(t+1)^2} - 5 = \frac{(t^3+t^2-2t-1)^2}{t^2(t+1)^2} \geqslant 0.\] Bài toán được chứng minh.

Em xét hai biểu thức:

 

 $P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$, và

 

 $Q=\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}.$

 

 Bằng cách chuẩn hoá $x+y+z=2$, ta có $xy+yz+zx=1$. Từ đó chứng minh được $xyz\leq \frac{4}{27}$.

 

 Xét tổng $S=P+Q$, biến đổi về chỉ còn $xyz$ thì ta có $S\geq \frac{21}{2}$.

 

 Giả sử phản chứng là $P< 5$, thì $Q$ phải lớn hơn $\frac{11}{2}$.

 

 Chọn một bộ đặc biệt $\left ( x,y,z \right )=\left ( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right )$ (thoả giả thiết) thì $Q=5,25< 5,5=\frac{11}{2}$ (mâu thuẫn).

 

 Suy ra ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

 

 (Anh có thể xem xét tính logic của lời giải này cho em được không ạ?)

[MathematicsNMN2016]

Bài này làm tương tự với ý tưởng trên.

 Anh có thể nói rõ hơn được không ạ?

 

 

 

P/s: Nếu như em chuẩn hoá, xét 2 trường hợp $x+y+z$ dương hoặc âm thì có thể giải được không anh?

[MathematicsNMN2016]

 

Đề bài 4

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$

Chứng minh rằng:

$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}.$

 

Bài toán này có thể chuẩn hoá, sau đó đưa về việc chứng minh Bất đẳng thức dạng: $xyz<=m$, số m tuỳ thuộc giá trị đã chuẩn hoá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 16-04-2016 - 23:53

[MathematicsNMN2016]

Bài toán 9:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$7\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=11\left ( xy+yz+zx \right ).$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{51}{28}\leq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\leq 2.$

[MathematicsNMN2016]

Có ai có ý tưởng cho bài toán 5 và 9 theo hướng chuẩn hoá chưa ạ?

 

 

[MathematicsNMN2016]

Bài toán 10:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )^{3}=32xyz.$

 

Hãy tìm Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{\left ( x+y+z \right )^{4}}.$

[MathematicsNMN2016]

Bài 6 và bài 10 có bạn nào có hướng sử dụng chuẩn hoá không?

[MathematicsNMN2016]

 Bài toán 11:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{17}{4}\leq \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}\leq 5.$

[Nguyenhuyen_AG]

 

 Bài toán 11:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{17}{4}\leq \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}\leq 5.$

 

 

Trong quá trình giải bài này mình vừa tìm được bài toán tổng quát của nó

 

Tổng quát: Cho $x, y$ và $z$ là ba số thực dương và số thực không âm $k$ cho trước thoả mãn điều kiện $$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=k+9.$$ Khi đó $$\frac{8(k+9)^3}{k^2+36k+216+\sqrt{k^3(k+8)}}-3k-24 \leqslant \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} \leqslant \frac{8(k+9)^3}{k^2+36k+216-\sqrt{k^3(k+8)}}-3k-24.$$

 

 

 

Bài toán 10:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )^{3}=32xyz.$

 

Hãy tìm Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

 

$P=\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{\left ( x+y+z \right )^{4}}.$

 

 

Đây là đề thi VMO 2004.

[MathematicsNMN2016]

 Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 8 và 11 chưa ạ?

 

 Mình muốn giải theo cách chuẩn hoá và "Đánh giá từng biến".

 

 

[MathematicsNMN2016]

Bài toán 12:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{27}{2}\leq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\leq 140-40\sqrt{10}.$

[MathematicsNMN2016]

Trong quá trình giải bài này mình vừa tìm được bài toán tổng quát của nó

 

Tổng quát: Cho $x, y$ và $z$ là ba số thực dương và số thực không âm $k$ cho trước thoả mãn điều kiện $$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=k+9.$$ Khi đó $$\frac{8(k+9)^3}{k^2+36k+216+\sqrt{k^3(k+8)}}-3k-24 \leqslant \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} \leqslant \frac{8(k+9)^3}{k^2+36k+216-\sqrt{k^3(k+8)}}-3k-24.$$

 

 

 

Đây là đề thi VMO 2004.

Anh có thể nói rõ hơn cách tiếp cận bài toán 10, 11 và bài toán tổng quát của nó được không ạ?

[Nguyenhuyen_AG]

 

Bài toán 12:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{27}{2}\leq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\leq 140-40\sqrt{10}.$

 

 

Bài này là hệ quả của hai bài toán sau \[\sqrt{(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )} \geqslant 1 + \sqrt{1+\sqrt{(x^2+y^2+z^2)\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \right )}},\] và \[5+\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \right )-2} \geqslant  (x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ).\]

[MathematicsNMN2016]

Có thành viên nào giải bài toán 9 và 12 theo hướng chuẩn hoá chưa ạ?

 

[MathematicsNMN2016]

Bài toán 13:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{19}{12}\leq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\leq \frac{5}{3}.$

[Nguyenhuyen_AG]

 

Bài toán 13:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{19}{12}\leq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\leq \frac{5}{3}.$

 

 

Nếu $x,y,z$ là ba số thực dương và $k \geqslant 0$ là số thực cho trước thỏa mãn \[(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=k+9.\] Đặt $P = \frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}.$ Chứng minh rằng \[P \geqslant \frac{8(k+9)^3}{\left[k^2+36k+216+\sqrt{k^3(k+8)}\right](k+8)}-\frac{2k+15}{k+8},\] và \[P \leqslant \frac{8(k+9)^3}{\left[k^2+36k+216-\sqrt{k^3(k+8)}\right](k+8)}-\frac{2k+15}{k+8}.\]
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 20-04-2016 - 20:09

[Nguyenhuyen_AG]

 

Bài toán 9:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$7\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=11\left ( xy+yz+zx \right ).$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{51}{28}\leq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\leq 2.$

 

 

Nếu $a,b,c$ là ba số thực dương và $0 \leqslant k \leqslant 1$ là số thực cho trước thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=(k+1)(ab+bc+ca).$ Đặt $$P = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.$$ Chứng minh rằng \[\frac{27}{2} \cdot \frac{(k+3)(k+4)}{k^2+15k+36+\sqrt{k^3(k+3)}} - 3 \leqslant P \leqslant \frac{27}{2} \cdot \frac{(k+3)(k+4)}{k^2+15k+36-\sqrt{k^3(k+3)}} - 3.\] P/s. Bài toán trên là trường hợp $k = \frac{4}{7}.$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 20-04-2016 - 22:50