Nếu $x,y,z$ là ba số thực dương và $0 \leqslant k \leqslant 1$ là số thực cho trước thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=(k+1)(ab+bc+ca).$ Đặt $$P = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.$$ Chứng minh rằng \[\frac{27}{2} \cdot \frac{(k+3)(k+4)}{k^2+15k+36+\sqrt{k^3(k+3)}} - 3 \leqslant P \leqslant \frac{27}{2} \cdot \frac{(k+3)(k+4)}{k^2+15k+36-\sqrt{k^3(k+3)}} - 3.\] P/s. Bài toán trên là trường hợp $k = \frac{4}{7}.$
Nếu $x,y,z$ là ba số thực dương và $k \geqslant 0$ là số thực cho trước thỏa mãn \[(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=k+9.\] Đặt $P = \frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}.$ Chứng minh rằng \[P \geqslant \frac{8(k+9)^3}{\left[k^2+36k+216+\sqrt{k^3(k+8)}\right](k+8)}-\frac{2k+15}{k+8},\] và \[P \leqslant \frac{8(k+9)^3}{\left[k^2+36k+216-\sqrt{k^3(k+8)}\right](k+8)}-\frac{2k+15}{k+8}.\]
cho em hỏi là phương pháp nào đã đưa ta đến những kết quả trên ạ? làm sao anh có những bổ đề đó?
