Chủ đề này có 72 trả lời

[Nguyenhuyen_AG]

 

Bài toán 16:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=5.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq \frac{35}{3}.$

 

 

Số $\frac{35}{3}$ vẫn chưa phải là số tốt nhất của bài. Ta có bất đẳng thức sau \[\frac{17}{4} \leqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \leqslant 1+4\sqrt{2}.\] Về bài toán tổng quát thì em có thể xem trong quyển “Phân loại và phương pháp giải toán bất đẳng thức” ở phần nhận xét của bài 2.84.

[MathematicsNMN2016]

Số $\frac{35}{3}$ vẫn chưa phải là số tốt nhất của bài. Ta có bất đẳng thức sau \[\frac{17}{4} \leqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \leqslant 1+4\sqrt{2}.\] Về bài toán tổng quát thì em có thể xem trong quyển “Phân loại và phương pháp giải toán bất đẳng thức” ở phần nhận xét của bài 2.84.

 

 Cảm ơn anh nha, đó cũng là đề bài ngày hôm nay em đưa lên, và cũng là bài toán cuối trong chuỗi các bài toán BĐT, tìm GTNN-GTLN bằng Tư duy: "Đánh giá từng biến".

 

 

[MathematicsNMN2016]

 Bài toán 17:

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=5.$

 

 Chứng minh rằng:

 

$\frac{17}{4}\leq \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 1+4\sqrt{2}.$

[MathematicsNMN2016]

 

Đề bài 5

 

Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right )> 0.$

Chứng minh rằng:

 

$\frac{\left | y-z \right |}{\sqrt{x^{2}+2yz}}+\frac{\left | z-x \right |}{\sqrt{y^{2}+2zx}}+\frac{\left | x-y \right |}{\sqrt{z^{2}+2xy}}\geq 2.$

 

 

 Bài toán này xuất hiện trong cuốn: Phân loại và phương pháp giải toán Bất đẳng thức, của Vasile Cirtoaje - Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, bài 2.116.

 

 

[MathematicsNMN2016]

 

Bài toán 12:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{27}{2}\leq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\leq 140-40\sqrt{10}.$

 

 

 Mình thấy bài này rất thú vị, liệu có thể mở rộng lên theo 2 hướng:

 

 1) Luỹ thừa 3, 4, ... n?

 

 2) 4 biến, 5 biến, ... n biến?

 

 

[MathematicsNMN2016]

 

Bài toán 13:

 

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=10.$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{19}{12}\leq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\leq \frac{5}{3}.$

 

 

 Kết quả sẽ như thế nào nếu biểu thức trong bất đẳng thức là luỹ thừa 2, 3, ... n chứ không còn là 1?

 

 

[Nguyenhuyen_AG]

 Mình thấy bài này rất thú vị, liệu có thể mở rộng lên theo 2 hướng:

 

 1) Luỹ thừa 3, 4, ... n?

 

 2) 4 biến, 5 biến, ... n biến?

 

 

 

1. Mở rộng theo hướng bâng lũy thừa

 

Một số thành viên của AoPS có đưa ra mở rộng như sau (vẫn chưa có lời giải)

 

Mở rộng 1. Đặt $F_1(a,b,c)=(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = N^2,\;(N\geqslant3),$ và $F_n(a,b,c)=(a^n + b^n+ c^n)\left(\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n}\right).$ Khi đó \[F_n(a,b,c)_{\max} = F_n\left[1,\frac{N-1+\sqrt{(N-3)(N+1)}}{2},\frac{N-1-\sqrt{(N-3)(N+1)}}{2}\right].\]

Mở rộng 2. Đặt $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = m+9,\;(m \geqslant 0, n \geqslant 1)$ và $F_n(a,b,c)=(a^n + b^n + c^n)\left(\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n}\right).$ Khi đó \[F_n(a,b,c)_{\min}=F_n\left(1,1,\frac{m+4+\sqrt{m^2+8m}}{4}\right).\]

2. Mở rộng theo hướng tăng biến số

 

Bài toán này được Han Jing Jun đề xuất

 

Mở rộng 3. Cho số nguyên dương $n \geqslant 3$ và các số dương $a_1,a_2,\,\ldots,\,a_n.$ Chứng minh rằng \[\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i^2}} \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}\left ( \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}-n+1 \right ).\]

[MathematicsNMN2016]

 Anh có thể cho em xin link ở bên AoPS được không ạ?

 

 

 

 Nếu vậy ta vẫn còn "Bài toán mở" cho ý n biến đối với GTNN?

[MathematicsNMN2016]

 Trên đây là các bài toán mình tổng hợp với ý tưởng là đưa ra cách tiếp cận theo hướng tư duy: Đánh giá từng biến, ý tưởng chính các bạn có thể xem qua bài viết ở Topic thứ 8 của anh Galois_vn trên Diễn đàn Mathscope (http://mathscope.org/) ở:

 

 http://mathscope.org...ead.php?t=50383

 

  Chủ đề tương tự mình trao đổi ở Mathscope có thể tham khảo tại:

 

 http://mathscope.org...ead.php?t=50413

 

 

 

 

 

 Còn nhiều bài toán vẫn chưa được thảo luận và có những bài toán tổng quát chưa có cách tiếp cận cụ thể, hầu hết những bài toán đều có nguồn gốc từ các kỳ thi và một số ý "tự mình" phát triển lên theo tư duy đã nêu (Đánh giá từng biến), do đó không tránh khỏi những vấn đề mang tính chủ quan, chẳng hạn anh Galois_vn có nhận xét: "Đơn giản nhưng tính toán nhiều". 

 

 Mong các thành viên tiếp tục thảo luận và đưa ra những ý tưởng hoặc các bài toán liên quan.

 

 Mình xin cảm ơn.

 

 

 

 

 

 P/S: Nếu có thời gian mình sẽ đưa ra những ý chính để giải các bài toán đã nêu và tổng hợp thành 1 File hoàn chỉnh để dễ tham khảo. Nếu có thành viên nào sẵn lòng giúp đỡ (Giải hoặc Tổng hợp thành File) thì mình rất sẵn lòng. 

 

 N.M.N 2016

 

 

[MathematicsNMN2016]

 Cảm ơn các thành viên đã tham gia thảo luận, đặc biệt là anh Nguyenhuyen_AG.

 

 

 

 "Một ý tưởng đáng giá hơn vạn bài toán"

[Nguyenhuyen_AG]

Thật ra thì các bài toán này đặc biệt là các bài toán tổng quát ở trên khá thú vị, lời giải của anh khác với Galois_vn và cũng không cần tính toán nhiều như vậy, tình cờ là các bài toán này trùng ý tưởng với một chuyên đề mà anh đang viết nên tạm thời anh chỉ đăng các bài toán, hè này xong anh sẽ up chuyên đề này lên.

[ineX]

bản pdf của topic này cho tiện xem 

File gửi kèm

•  topic đánh giá bđt từng biến.pdf   1.47MB   83 Số lần tải

[MathematicsNMN2016]

 Cảm ơn bạn, nếu có thời gian mình sẽ tổng hợp lại thành 1 file hoàn chỉnh với các hướng dẫn cụ thể sau .

 

 P/S: Nếu được, mình rất mong có thành viên sẽ giúp mình.