Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: $x^6+x^3y=y^3+2y^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$x^6+x^3y=y^3+2y^2$



#2
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Góp ý 1 lời giải.Khá chày cối.Bạn nào có cách hay hơn mong được chỉ giáo -.-

Coi $x^3$ là ẩn.Phương trình có nghiệm nguyên

=>$\Delta$ là số chính phương

<=>$4y^3+9y^2=a^2$ Mà $a\vdots y$

Đặt a=by =>$4y^3+9y^2=b^2y^2$

<=>$9+4y=b^2$

Vì b lẻ đặt $b=2k+1$

=>y=(k-1)(k+2)

=>$\sqrt{\Delta }=\sqrt{y^2(9+4y)}=y\sqrt{9+4y}=(k-1)(k+2)\sqrt{9+4(k-1)(k+2)}=(k-1)(k+2)\sqrt{4k^2+4k+1}=(k-1)(k+2)(2k+1)$

=>$x^3=\frac{-y+\sqrt{\Delta }}{2}=\frac{-(k-1)(k+2)+(k-1)(k+2)(2k+1)}{2}=(k-1)k(k+2)$ (vì x>0)

=>$(k-1)^3<(k-1)k(k+2)<(k+1)^3$

=>$x^3=k^3$

Thay vào giải PT bậc 3 được x=k=2

Vậy PT có nghiệm nguyên dương (x;y)=(2;4)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 10-04-2016 - 22:17


#3
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Khúc đầu có thể làm đẹp hơn như sau 

Pt $(\frac{2x^3}{y}+1)^{2}=4y+9$

Từ đó đặt $k=\frac{2x^3}{y}$

Pt $k(k-2)(k+4)=8x^3$

nên $k=2a$

Pt $a(a-1)(a+2)=x^3$

Làm tương tự như trên sẽ ra  :icon6:  :icon6:

P/s:Mạng như ẹ  :mellow:  :mellow: Em gõ từ 9h mà mãi chưa được đi ngủ  :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 30-10-2016 - 13:35





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh