Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:
$x^6+x^3y=y^3+2y^2$
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:
$x^6+x^3y=y^3+2y^2$
Góp ý 1 lời giải.Khá chày cối.Bạn nào có cách hay hơn mong được chỉ giáo -.-
Coi $x^3$ là ẩn.Phương trình có nghiệm nguyên
=>$\Delta$ là số chính phương
<=>$4y^3+9y^2=a^2$ Mà $a\vdots y$
Đặt a=by =>$4y^3+9y^2=b^2y^2$
<=>$9+4y=b^2$
Vì b lẻ đặt $b=2k+1$
=>y=(k-1)(k+2)
=>$\sqrt{\Delta }=\sqrt{y^2(9+4y)}=y\sqrt{9+4y}=(k-1)(k+2)\sqrt{9+4(k-1)(k+2)}=(k-1)(k+2)\sqrt{4k^2+4k+1}=(k-1)(k+2)(2k+1)$
=>$x^3=\frac{-y+\sqrt{\Delta }}{2}=\frac{-(k-1)(k+2)+(k-1)(k+2)(2k+1)}{2}=(k-1)k(k+2)$ (vì x>0)
=>$(k-1)^3<(k-1)k(k+2)<(k+1)^3$
=>$x^3=k^3$
Thay vào giải PT bậc 3 được x=k=2
Vậy PT có nghiệm nguyên dương (x;y)=(2;4)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 10-04-2016 - 22:17
Khúc đầu có thể làm đẹp hơn như sau
Pt $(\frac{2x^3}{y}+1)^{2}=4y+9$
Từ đó đặt $k=\frac{2x^3}{y}$
Pt $k(k-2)(k+4)=8x^3$
nên $k=2a$
Pt $a(a-1)(a+2)=x^3$
Làm tương tự như trên sẽ ra
P/s:Mạng như ẹ Em gõ từ 9h mà mãi chưa được đi ngủ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 30-10-2016 - 13:35
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh