Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, một hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($M$ thuộc $AB, N$ thuộc $AC, P, Q$ thuộc $BC$). CM cắt NP tại $E$; BN cắt MQ tại $F$. Chứng minh $AE = AF$ và $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}$
Cảm ơn bạn. Nhưng tôi chỉ muốn dùng kiến thức hình học 8 để làm thôi
thế thì sửa lại bài viết một chút
Giả sử AB <AC
Gọi O là tâm của hình vuông MNPQ
Ta có $\frac{EP}{EN} =\frac{CP}{MN} =\frac{CP}{PN}$ (1)
có $\frac{FM}{FQ} =\frac{MN}{QB} =\frac{MQ}{QB}$ (2)
có $\triangle CPN \sim\triangle MQB$ (g, g)
$\Rightarrow \frac{CP}{PN} =\frac{MQ}{QB}$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{EP}{EN} =\frac{FM}{FQ}$
$\Leftrightarrow\frac{EP}{EP +EN} =\frac{FM}{FM +FQ}\Leftrightarrow\frac{EP}{NP}=\frac{FM}{MQ}\Leftrightarrow EP =FM$
mà EP //FM $\Rightarrow$ EPFM là hình bình hành
$\Rightarrow$ O là trung điểm EF(4)
hạ QG vuông góc AB tại G
có $\frac{QG}{MG}=\frac{QB}{QM} =\frac{AB}{AC} <1$
$\Rightarrow$QG <MG$\Rightarrow\widehat{QOG}<\widehat{MOG}$ (5)
gọi I là điểm đối xứng với Q qua OG (6)
từ (5, 6)$\Rightarrow$I nằm trong góc $\widehat{GOM}$
có $\widehat{MIO}+\widehat{GIO} =\widehat{IMO} +\widehat{GQO}$ (7)
xét 2 trường hợp
*TH1, nếu I nằm khác phía với O so với GM
$\Rightarrow\widehat{MIO}+\widehat{GIO}<180^\circ$ (8)
và $\widehat{IMO}>\widehat{GMO} =180^\circ -\widehat{GQO} =180^\circ -\widehat{GIO}$
$\Leftarrow\widehat{MIO} +\widehat{GIO}>180^\circ$ (9)
có (8) và (9) mâu thuẫn nhau$\Rightarrow$ TH1 là sai (10)
*TH2, nếu I nằm cùng phía với O so với GM
cminh tương tự như trên dẫn đến mâu thuẫn
$\Rightarrow$ TH2 là sai (11)
từ (10, 11)$\Rightarrow$ I nằm trên GM
$\Rightarrow$GO là phân giác $\widehat{QGM}$ (12)
có $\frac{MQ}{QB} =\frac{MG}{GQ}$ (13)
từ (2, 13)$\Rightarrow\frac{GM}{GQ} =\frac{FM}{FQ}$
$\Rightarrow$GF là phân giác $\widehat{QGM}$ (14)
từ (12, 14)$\Rightarrow$G, F, O ,E thẳng hàng (15)
có $\triangle QGM =\triangle MAN$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ QG =MA (16)
có OQ =OM và $\widehat{OQG} =\widehat{OMA}$(góc có cạnh tương ứng vuông góc) (17)
từ (16, 17)$\Rightarrow \triangle OQG=\triangle OMA$(c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{QOG} =\widehat{AOM}$
$\Leftrightarrow\widehat{AOG} =\widehat{MOQ} =90^\circ$ (18)
từ (4, 15, 18)$\Rightarrow$tam giác AEF cân tại A (đpcm)
$\Rightarrow$ AO là phân giác góc EAF (19)
có $\widehat{OAM} =\widehat{AGQ} =45^\circ$
$\Rightarrow$AO là phân giác góc CAB (20)
từ (19, 20)$\Rightarrow\widehat{BAF} =\widehat{CAE}$ (đpcm)