Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{27}{8}$

[NTA1907]

 

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{27}{8}$

 

Quy đồng và thu gọn ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$3+19xyz\geq 11(xy+yz+zx)+27x^{2}y^{2}z^{2}$

Từ gt$\Rightarrow 1=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\geq 27x^{2}y^{2}z^{2}$

Mà ta có bất đẳng thức sau luôn đúng với $x,y,z>0$:

$(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\leq xyz$

$\Rightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$

Khi đó ta chứng minh:

$3+2\left [ 4(xy+yz+zx)-1 \right ]\geq 11(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow 1\geq 3(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$(luôn đúng) $\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

[KietLW9]

Quy đồng rồi rút gọn, ta được: $3-11(xy+yz+zx)+19xyz-27x^2y^2z^2\geqslant 0$ 

$\Leftrightarrow 4[3+19xyz-27x^2y^2z^2]\geqslant 11.4(xy+yz+zx)$ 

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau $xyz\geqslant (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$ , ta được: $xyz\geqslant (1-2x)(1-2y)(1-2z)\Leftrightarrow 11.4(xy+yz+zx)\leqslant 11(1+9xyz)$ 

Ta cần chứng minh: $4[3+19xyz-27x^2y^2z^2]\geqslant 11(1+9xyz)\Leftrightarrow (1-27xyz)(1+4xyz)\geqslant 0$  *đúng do $xyz\leqslant \frac{(x+y+z)^3}{27} =\frac{1}{27}$*

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$