Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Như vậy đã có lời giải của bài 9 trong Tuần 1 tháng 11 của thầy Hùng và đề bài mới. Xin trích dẫn lại đề bài:

 

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD$. Các điểm $K,L$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $AK \perp AC, AL \perp AB$. Trên đoạn thẳng $PC,PB$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $KM=KA,LN=LA$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $DMN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $P$ di chuyển.

[huypham2811]

Gọi $MN$ giao $BC$ tại $S$.  đtròn $(MND)$ cắt $BC$ tại $Q$.  

 

Gọi $\omega _{1},\omega _{2}$ l/lượt là đtròn$(K,KA)$ và $(L,LA)$, $ PB$ cắt $\omega _{2}$  tại $X$, $PC$ cắt $\omega _{1}$ tại $Y$.

 

Ta có: $AD$ là trục đẳng phương của $\omega _{1}$ và $\omega _{2}$

 

Do đó $AD$ là đường đối cực của $B$ đối với $\omega _{2}$ => $(BPNX)=-1$

 

tương tự $(CPMY)=-1$     => $ XY,MN,BC$ đồng quy tại $S$.

 

Có: $\overline{PM}.\overline{PY}=P_{P/\omega _{1}}=P_{P/\omega _{2}}=\overline{PN}.\overline{PX}$

 

=> $XYNM$ là tgnt.

 

=> $\overline{SX}.\overline{SY}=\overline{SN}.\overline{SM}$

 

=> $S$ là tâm nghịch đảo hay là tâm vị tự của $\omega _{1}$ và $\omega _{2}$    (*)

 

=> $\overline{SA}^{2}=\overline{SM}.\overline{SN}=\overline{SD}.\overline{SQ}$

 

=> $SA\perp AQ$

 

Lại có: từ (*) => $\frac{SK}{SL}=\frac{KA}{LA}$ <=> $AS$ là p/giác ngoài góc $A$ của $\Delta KAL$

 

=> $AQ$ là p/giác trong góc $A$ của $\Delta KAL$

 

=>  $AQ$ cx là p/giác trong góc $A$ của $\Delta ABC$

 

=> $Q$ cố định khi $P$ t/đổi.

 

Vậy tâm của đtròn $(MND)$ thuộc đường trung trực của $DQ$ cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 27-10-2015 - 00:33

[cleverboy]

Một lời giải khác cho bài toán tuần 1 tháng 11 năm 2015.

Hình gửi kèm

• 
•