Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương
Tìm công thức tính tổng các bình phương
#1
Đã gửi 19-04-2016 - 13:25
#2
Đã gửi 21-04-2016 - 01:41
Ta có:
$2^2=1.2.3-2$
$3^2=2.3.4-3$
....
$n^2=(n-1)n(n+1)-n$
=>$1^2+2^2+...+n^2=1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+..+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- NTL2k1 và Qwerty0102 thích
#3
Đã gửi 22-04-2016 - 21:37
Ta thấy: $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$ là đa thức bậc 3
Giả sử: P(x)= $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$)
Ta cần tìm a, b, c, d
P(1)= a+b+c+d = 1$^{2}$
P(2)= 8a+4b+2c+d= $1^{2}+2^{2}$
P(3)= 27a+9b+3c+d= $1^{2}+2^{2}+3^{2}$
P(4)= 64a +16b+4c+d= $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}$
$\Rightarrow$ $a=\frac{1}{3}$; $b=\frac{1}{2}$; $c=\frac{1}{6}$; d=0
$\Rightarrow$ P(x)= $1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$= $\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x$= $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- trieuduc0101, santo3vong, Hoang72 và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 24-04-2016 - 19:24
Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương
Xét: $A=1.2+2.3+...+n(n+1)\Leftrightarrow 3A=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+n(n+1)\left [ (n+2)-(n-1) \right ]=n(n+1)(n+2)$
$\Rightarrow$$P=1^2+2^2+...+n^2=1(2-1)+2(3-1)+...+n\left [ (n+1)-1 \right ]=\left [ 1.2+2.3+...+n(n+1) \right ]-(1+2+...+n)$
$\Rightarrow P=A-(1+2+...+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khuyến mãi thêm cho bạn:
$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+...+n)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 24-04-2016 - 19:31
- santo3vong và Ruka thích
Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.
Perfect numbers like perfect men, are very rare.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$
#5
Đã gửi 31-07-2022 - 17:49
Ta có:
$2^2=1.2.3-2$
$3^2=2.3.4-3$
....
$n^2=(n-1)n(n+1)-n$
=>$1^2+2^2+...+n^2=1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+..+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
bạn chỉnh lại phép tính 32 đi bạn ghi sai rồi đấy
#6
Đã gửi 21-03-2023 - 16:26
Tổng quát :Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương
Áp dụng :
- Với $m=2:$
$1^2+2^2+....+n^2=\binom {n+1}{2}+2\binom {n+1}{3}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
- Với $m=3:$
$1^3+2^3+....+n^3=\binom {n+1}{2}+6\binom {n+1}{3}+6\binom{n+1}{4}$
...vv....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-03-2023 - 21:11
$\LaTeX$
- Nesbit, perfectstrong, hxthanh và 2 người khác yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh