Bài 1:
Ta có $M=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+\frac{2016}{\sqrt{x+y+1}}+2xy$
$\iff M=(x+y)^{2}-2(x+y)+2+\frac{2016}{\sqrt{x+y+1}}$
Đặt $t=x+y=>M=t^{2}-2t+\frac{2016}{\sqrt{t+1}}$
ta có giả thiết tương đương: $x-3+y-2013=26\sqrt{x-3}+3\sqrt{y-2013}$
Đặt $a=\sqrt{x-3};b=\sqrt{y-2013}=> x+y-2016=a^{2}+b^{2}=26a+3b$
$=> t=x+y=2016+a^{2}+b^{2}\ge 2016$
Mặt khác lại có: $(a^{2}+b^{2})^{2}=(26a+3b)^{2}\le (26^{2}+36^{2})(a^{2}+b^{2}) =>a^{2}+b^{2}<=26^{2}+3^{2}=685$ (bunhiacopxki)(1)
$=> 2016\le t=x+y=2016+a^{2}+b^{2}\le 685+2016=2701$
Đến đây ta xét hàm $f(t)=t^{2}-2t+\frac{2016}{\sqrt{t+1}}$ với $2016\le t\le2701$
Ta tìm được $Minf(t)=4060226+\frac{2016}{\sqrt{2017}}$. Dấu bằng xảy ra khi $t=2016\iff a^{2}+b^{2}=0\iff a=b=0\iff x=3,y=2013$
$Maxf(t)=7290001+144\sqrt{\frac{14}{193}}$. Dấu bằng xảy ra khi $t=2701\iff a=26,b=3\iff x=679,y=2022$ (do(1))
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 20-04-2016 - 18:53