Đến nội dung


Hình ảnh

Một số vấn đề liên quan đến số có dạng $x^{2} + 3y^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-04-2016 - 23:22

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$, $p\in\mathbb{S}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố thuộc tập $\mathbb{S}$. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 22-04-2016 - 23:51


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 20-04-2016 - 23:30

Chém câu dễ còn câu khó rảnh thì làm :P 
$p=x^2+3y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ mà $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ suy ra $p \equiv 1 \pmod{3}$ 



#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-04-2016 - 17:19

Cho tập hợp $\mathbb{S}$ chứa tất các số nguyên dương có thể viết được dưới dạng $x^{2} + 3y^{2}$ với $x, y$ nguyên nào đó. Chứng minh các tính chất sau:
a) Nếu $m, n \in \mathbb{S} \implies mn \in \mathbb{S}$.
b) Nếu $N$ chẵn thuộc $\mathbb{S}$ thì $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$; nếu $p \in \mathbb{P}$ và $p\mid N$ thì $\frac{N}{p} \in \mathbb{S}$.
c) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại $N$ sao cho $N^{2} + 3 \vdots p$.
d) Cho $p > 3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p \in \mathbb{S} \iff p \equiv 1\pmod{3}$

Nguồn

Câu a

Ta có $m=a^2+3b^2 ; n =c^2+3d^2 => mn= (a^2+3b^2)(c^2+3d^2) =( a^2c^2+6abcd+ 9b^2d^2)+3(a^2d^2-2abcd+b^2c^2)=(ac+3bd)^2+ 3(ad-bc)^2 $

Vậy $mn \in S$



#4 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-04-2016 - 00:11

Theo mình nghĩ thì mấy câu đầu khá dễ
a) $(a^{2} + 3b^{2})(c^{2} + 3d^{2}) = (ac + 3bd)^{2} + 3(ad - bc)^{2} = (ac - 3bd)^{2} + 3(ad + bc)^{2}$
b)
i)$N = x^{2} + 3y^{2}$, dĩ nhiên nếu $2\mid x
\iff 2\mid y$, trường hợp này hiển nhiên $\frac{N}{4} \in \mathbb{S}$.
Xét $x, y$ đều lẻ, để ý là $x^{2} - 9y^{2} \equiv 1 - 9 \equiv 0\pmod{8}$, do đó $4\mid x - 3y$ hoặc $4\mid x + 3y$. Giả sử là $4\mid x - 3y$ (TH kia chứng minh tương tự):
Khi đó $\frac{N}{4} = \left(\frac{x - 3y}{4}\right)^{2} + 3\left(\frac{x + y}{4}\right)^{2}$
ii) Với trường hợp $p = 3$ thì ta chỉ cần quan tâm đến việc $3\mid x \iff 3\mid y$ (cái này có thể chứng minh khá dễ). Ta sẽ quan tâm tới các TH khác:
Nếu $r^{2} + 3t^{2} = p\mid x, y$ thì từ đẳng thức ở câu a) cho ta $p\times (x'^{2} + 3y'^{2}) \in \mathbb{S}$
Ngược lại, khi đó ta có $r^{2} + 3t^{2}\mid x^{2} + 3y^{2}$ thì $(rx + 3ty)(rx - 3ty) = (rx)^{2} - 9(ty)^{2} = r^{2}(x^{2} + 3y^{2}) - 3y^{2}(r^{2} + 3t^{2}) \vdots r^{2} + 3t^{2}$. Do $r^{2} + 3t^{2} \in \mathbb{P}$ nên hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$ hoặc $r^{2} + 3t^{2}\mid rx - 3ty$. Không mất tổng quát, giả sử $r^{2} + 3t^{2}\mid rx + 3ty$:
$\frac{x^{2} + 3y^{2}}{r^{2} + 3t^{2}} = \left(\frac{rx + 3ty}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2} + 3\left(\frac{ry - tx}{r^{2} + 3t^{2}}\right)^{2}$
c) Đặt $p = r^{2} + 3t^{2}$, do $p > 3$ là số nguyên tố nên $\gcd(r, t) = 1$. Xét trên modulo $p$: $(rt^{-1})^{2} + 3 \equiv 0\pmod{p} \iff \left(\frac{-3}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1\pmod{3}$. Áp dụng luôn sẽ cho ta kết quả (chứng minh trên sẽ dẫn ra trực tiếp nếu $p > 3$ mà thuộc $\mathbb{S}$ thì $p\equiv 1\pmod{3}$ - tương ứng với chiều thuận của câu d))
d) Đảo: Mình có một lời giải không đẹp cho câu d) này, mong các bạn sẽ thử sức trước :-P.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh