Chủ đề này có 4 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: Tìm số phức Z thỏa mãn $\begin{cases}(z-8-3i)(\overline{z}-8+3i)+(z-8-9i)(\overline{z}-8+9i)=68 \\ \left | z \right | \leq 5 \end{cases}$

Bài 2: Một sô phức Z thay đổi sao cho $2z+2+i$ và $3z+4+2i$ có cùng argument. Tìm z để $\left | z-7-i \right |+\left | z-3-4i \right |+\left | z-7-6i \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[ngothithuynhan100620]

Bài 1: Đặt $ z=a+bi$.

Từ bpt(2) $=>a^{2}+b^{2}\le 25$

Khi đó phương trình (1) tương đương

 $(1)\iff (a+bi-8-3i)(a-bi-8+3i)+(a+bi-8-9i)(a-bi-8+9i)=68$

$\iff (a-8)^2+(b-3)^2+(a-8)^2+(b-9)^2=68$

$\iff 2(a^2+b^2)-32a-24b+150=0$

$\iff (2a-8)^2+(2b-6)^2=2(a^2+b^2)-50\le 2*25-50=0 $

$=> 2a-8=0;2b-6=0\iff a=4;b=3$.

Vậy $z=4+3i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 22-04-2016 - 04:39

[ngothithuynhan100620]

Đặt $z=a+bi$

$=>2z+2+i=2(a+bi)+2+i=(2a+2)+(2b+1)i$

    $3z+4+2i=3(a+bi)+4+2i=(3a+4)+(3b+2)i$

Đầu tiên ta xét $a=-1;a=\frac{-4}{3}$ => vô lí (do không cùng argument)

Nên theo đề ta có $\frac{2b+1}{2a+2}=\frac{3b+2}{3a+4}$

$\iff (2b+1)(3a+4)=(2a+2)(3b+2)\iff a=2b$

$=>z=2b+bi$

khi đó :$A=|z-7-i|+|z-3-4i|+|z-7-6i|$

$\iff A=|(2b-7)+(b-1)i|+|(2b-3)+(b-4)i|+|(2b-7)+(b-6)i|$

$\iff A=(2b-7)^2+(b-1)^2+(2b-3)^2+(b-4)^2+(2b-7)^2+(b-6)^2$

$\iff A=15b^2-90b+160=15\left(b-3\right)^2+25\ge 25$

Vậy $Min A=25$. Dấu '=' xảy ra khi $b=3\iff z=6+3i$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 22-04-2016 - 18:01

[chanhquocnghiem]

 

Bài 2: Một sô phức Z thay đổi sao cho $2z+2+i$ và $3z+4+2i$ có cùng argument. Tìm z để $\left | z-7-i \right |+\left | z-3-4i \right |+\left | z-7-6i \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt $z=a+bi\Rightarrow 2z+2+i=(2a+2)+(2b+1)i$ ; $3z+4+2i=(3a+4)+(3b+2)i$

Với $a=-1$ hoặc $a=-\frac{4}{3}$ thì 2 số phức trên không cùng argument (loại).

Với $a\neq -1$ và $a\neq -\frac{4}{3}$ ta có $(2b+1)(3a+4)=(2a+2)(3b+2)\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow z=2b+bi$

Trong mặt phẳng phức, gọi các điểm $(2b-7,b-1),(2b-3,b-4),(2b-7,b-6)$ lần lượt là $A,B,C$.Ta có :

$P=\left | z-7-i \right |+\left | z-3-4i \right |+\left | z-7-6i \right |=OA+OB+OC$

Bài toán trở thành : Tìm $z$ sao cho $OA+OB+OC$ nhỏ nhất.

Dễ thấy tam giác $ABC$ cân tại $A$.Gọi $M\left ( 2b-5,b-\frac{5}{2} \right )$ và $N\left ( 2b-7,b-\frac{7}{2} \right )$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ ; $Q(2b-6,b-3)$ là trung điểm $MN$

Từ tọa độ của $M,N$ suy ra khi $b$ thay đổi thì $O$ luôn luôn thuộc đường thẳng $MN$

Xét điểm $Q$ là trung điểm $MN$, ta có $AQ$ _|_ $MN$ và $QI$ _|_ $BC$ ($I$ là trung điểm $BC$)

Xét điểm $S$ tùy ý thuộc $MN$ ($S$ khác $Q$), ta có :

$SA> QA=\sqrt{5}$ (vì $AQ$ _|_ $MN$)

$SB+SC> QB+QC=2\sqrt{10}$ (vì $Q$ thuộc ellipse $(E)$ có các tiêu điểm $B$ và $C$ và có độ dài trục lớn là $2\sqrt{10}$, còn $S$ nằm trên tiếp tuyến $MN$ của ellipse, tức là nằm ngoài ellipse $(E)$ đó)

$\Rightarrow P_{min}=QA+QB+QC=\sqrt{5}+2\sqrt{10}$ (xảy ra khi $O$ trùng $Q$ hay $b=3$)

Vậy $P_{min}=\sqrt{5}+2\sqrt{10}$ (khi $z=6+3i$)

 

------------------------------------------------

@ caybutbixanh :

Từ tọa độ của $M$ và $N$ suy ra phương trình đường thẳng $MN$ là $y=\frac{1}{2}\ x$ $\Rightarrow O\in MN,\forall b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-04-2016 - 17:56

[caybutbixanh]

Đặt $z=a+bi\Rightarrow 2z+2+i=(2a+2)+(2b+1)i$ ; $3z+4+2i=(3a+4)+(3b+2)i$

Với $a=-1$ hoặc $a=-\frac{4}{3}$ thì 2 số phức trên không cùng argument (loại).

Với $a\neq -1$ và $a\neq -\frac{4}{3}$ ta có $(2b+1)(3a+4)=(2a+2)(3b+2)\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow z=2b+bi$

Trong mặt phẳng phức, gọi các điểm $(2b-7,b-1),(2b-3,b-4),(2b-7,b-6)$ lần lượt là $A,B,C$.Ta có :

$P=\left | z-7-i \right |+\left | z-3-4i \right |+\left | z-7-6i \right |=OA+OB+OC$

Bài toán trở thành : Tìm $z$ sao cho $OA+OB+OC$ nhỏ nhất.

Dễ thấy tam giác $ABC$ cân tại $A$.Gọi $M\left ( 2b-5,b-\frac{5}{2} \right )$ và $N\left ( 2b-7,b-\frac{7}{2} \right )$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ ; $Q(2b-6,b-3)$ là trung điểm $MN$

Từ tọa độ của $M,N$ suy ra khi $b$ thay đổi thì $O$ luôn luôn thuộc đường thẳng $MN$

Xét điểm $Q$ là trung điểm $MN$, ta có $AQ$ _|_ $MN$ và $QI$ _|_ $BC$ ($I$ là trung điểm $BC$)

Xét điểm $S$ tùy ý thuộc $MN$ ($S$ khác $Q$), ta có :

$SA> QA=\sqrt{5}$ (vì $AQ$ _|_ $MN$)

$SB+SC> QB+QC=2\sqrt{10}$ (vì $Q$ thuộc ellipse $(E)$ có các tiêu điểm $B$ và $C$ và có độ dài trục lớn là $2\sqrt{10}$, còn $S$ nằm trên tiếp tuyến $MN$ của ellipse, tức là nằm ngoài ellipse $(E)$ đó)

$\Rightarrow P_{min}=QA+QB+QC=\sqrt{5}+2\sqrt{10}$ (xảy ra khi $O$ trùng $Q$ hay $b=3$)

Vậy $P_{min}=\sqrt{5}+2\sqrt{10}$ (khi $z=6+3i$)

Chỗ này :Từ tọa độ của $M,N$ suy ra khi $b$ thay đổi thì $O$ luôn luôn thuộc đường thẳng $MN$ ..

Chú có thể giải thích cụ thể được không ạ ?