Cho $a,b,c>0$
Chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2.$
Cho $a,b,c>0$
Chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2.$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bất đẳng Vacs
Đặt $a=c+x, b=c+y$ thì bất đẳng thức thành: $(x^2-xy+y^2)c^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)c+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\ge 0$
$\Delta=-3(x^3+y^3-x^2y-2xy^2)^2\le0$
Đây là lời giải của mình:
Dễ thấy $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)$
Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$
=>$b^2$ nằm giữa $a^2$ và $c^2$ $ac$ nằm giữa $ab$ và $bc$
=>$(ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^3b+ab^2c+bc^3)$ (Theo BĐT Chebysev)
Ta sẽ chứng minh $3(a^3b+ab^2c+bc^3)\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ (*)
Thật vậy:(*) <=>$b^3+ac^2\leq ab^2+bc^2$
<=>$(a-b)(b^2-c^2)\geq 0$ (Luôn đúng)
Vậy:$a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$ (ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 24-04-2016 - 10:10
Cho $a,b,c>0$
Chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2.$
Có hẳn 1 topic thảo luận về bài toán của bạn
Cho $a,b,c>0$
Chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2.$
Đặt $x=a^2+bc-ab,y=b^2+ca-bc,z=c^2+ab-ca$ thì
$xy+yz+zx=(a^2 +bc-ab)(b^2 +ca-bc)+(b^2 +ca-bc)(c^2 +ab-ca)+(c^2 +ab-ca)(a^2 +bc-ab)=a^3b+b^3c+c^3a$
Và
$x+y+z=a^2+b^2+c^2$
Mà ta luôn có bất đẳng thức quen thuộc sau:
$(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+zx)$
Vậy $a^3b+b^3c+c^3a \leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh