Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của: $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$



#2
Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

Cho x,y thỏa $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$. Tìm min của:

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=((x^2+y^2)-\frac{1}{2})(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 24-04-2016 - 14:10


#3
lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=(2(x^2+y^2)-1)(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Hình như phần phân tích sau "ta có" bị sai thì phải, bạn ạ.


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#4
nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=(2(x^2+y^2)-1)(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$ mà bạn!



#5
Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

Hình như phần phân tích sau "ta có" bị sai thì phải, bạn ạ.

$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$ mà bạn!

Đã sửa



#6
Phan Thien

Phan Thien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

nhanh ha



#7
Phan Thien

Phan Thien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                

 chỗ đó thấy hơi kì á bạn. theo t là $P=3(x^{2}+y^{2})^{2}-3x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+2$

Giải thích giùm t chỗ đó với



#8
lily evans

lily evans

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Có 

$(x+y)^3+(x+y)^2\geq (x+y)^3+4xy\geq 2$

                                                                $\Rightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0$

                                                                $\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có                                                                        

                                                                $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+2$

                                                                $=3(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

                                                                $=((x^2+y^2)-\frac{1}{2})(3(x^2+y^2)-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}$

                                                                $\geq \frac{7}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra 

                                                                $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

bạn Dark Magician 2k2 hình như vẫn sai.


NHỚ LIKE NHÁ!!!!!!


#9
nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết

bạn Dark Magician 2k2 hình như vẫn sai.

Đã tìm ra cách giải :3

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+2$

$\Leftrightarrow P=3[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$

Áp dụng bđt Cauchy ngược ta được:

$P\geq 3[(x^{2}+y^{2})^{2}-(\frac{x^{2}+y^{2}}{2})^{2}]-2(x^{2}+y^{2})+2$

Đặt $x^{2}+y^{2}=t$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}(x+y)^{3}+4xy\geq 2\\ (x+y)^{2}-4xy\geq 0\end{matrix}\right.$

          $\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2$

          $\Leftrightarrow (x+y-1)[(x+y)^{2}+2(x+y)+2]\geq 0$

          $\Leftrightarrow x+y\geq 1$

Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta được: 

   $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

   $\Rightarrow t\geq \frac{1}{2}$

Xét: $f(t)=\frac{9}{4}t^{2}-2t+1$     $\forall t\geq \frac{1}{2}$

Lập bảng biến thiên rồi tìm Min.

ĐS: $minP=\frac{9}{16}$ tại $x=y=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhox sock tn: 27-04-2016 - 21:52





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh