Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$
Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$
Lấy bất biến ứng vạn biến
Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$
Ta có $\frac{1}{a+b+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2} \right )$
Do đó VT $\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a+2}$
Ta chứng minh $\sum \frac{1}{a+2}\leq 1$
Biến đổi tương đương ta được $ab+bc+ca\geq 3$ ( đúng theo AM-GM)
Vậy BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$
Đặt $(x^3,y^3,z^3)\rightarrow (a,b,c)$ thì $\left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$
Ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^3+y^3+4}+\frac{1}{y^3+z^3+4}+\frac{1}{z^3+x^3+4}\le \frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+4}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+4}=\frac{z}{x+y+4z}$
Tương tự rồi cộng lại, ta cần chứng minh: $\frac{z}{x+y+4z}+\frac{x}{y+z+4x}+\frac{y}{z+x+4y}\leqslant \frac{1}{2}$
Đây là một bất đẳng thức đúng do: $\frac{1}{2}-(\frac{z}{x+y+4z}+\frac{x}{y+z+4x}+\frac{y}{z+x+4y})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(x-y)^2}{(4x+y+z)(4y+z+x)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh