Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

bdt_03

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngothithuynhan100620

ngothithuynhan100620

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

trong đó: a,b,c là các số thực thuộc [1;2]


                                                                                                                                                                   Lấy bất biến ứng vạn biến

                                                                                                                                                                               ED05DCDD2A7559524BE5222A4F48EFE5.png      


#2
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
 
Bài này được mình nhắc đến trong chuyên đề này!
 
Các lời giải như sau:
 

Bài toán: Cho $a,b,c\in \left [ 1,2 \right ]$  $CM: a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 

Lời giải:

 

Cách 1:

 

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$

 

$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$

 

$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

 

$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$

 

Cộng 3 bđt trên lại với nhau $\Rightarrow$ đpcm

 

Cách 2:

 

$A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\leq 5$

 

Do vai trò của a,b,c bình đẳng, giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$ 

 

Vì $a\leq b$ và $b\leq c$ $\Rightarrow$ $(a-b)(b^2-c^2)\leq 0$ $\Rightarrow$ $ab^2+bc^2-ac^2-b^3\leq 0$ $\Rightarrow$ $b^3\leq ab^2+bc^2-ac^2$

 

Chia 2 vế cho $abc>0$ $\Rightarrow$ $\frac{b^2}{ca}\leq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{c}{b}$ (1)

 

Mặt khác $\frac{a^2}{bc}\leq \frac{a^2}{ac}=\frac{a}{c}$ (2) và $\frac{c^2}{ab}\leq \frac{2c}{ab}\leq \frac{2c}{b}$ (3)

 

Cộng vế theo vế (1);(2);(3) : $A\leq (\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )$

 

Vì từ giả thiết: $a\leq c\leq 2\leq 2a$ $\Rightarrow$ $\frac{2a}{c}\geq 1$ và $\frac{c}{a}\geq 1>\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ $(\frac{2a}{c}-1).(\frac{c}{a}-\frac{1}{2})\geq 0$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$

 

Tương tự: $\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{5}{2}$

Cộng vế theo vế : $A\leq 5$ (ĐPCM)

 

Cách 3: Đặt: $x+1=a, y+1=b , z+1=c$

 

$1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

 

Khai triển(1) ra ta được:

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x^{2}+3\sum x+3\leq 5xyz+5\sum xy+5\sum x+5$

 

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+5xyz+5\sum xy+2\geq \sum x^{3}+3\sum x^{2}$   (*)

Do $0\leq x,y,z\leq 1$

nên ta có: $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\Rightarrow 1+\sum xy\geq xyz+\sum x$

                $\Rightarrow 2+2\sum xy\geq 2xyz+2\sum x$  (**)

 

Từ (*) và (**) ta sẽ có điều cần chứng minh nếu:

$ 4(x+y+z)+7xyz+3\sum xy\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

 

Do $0\leq x,y,z\leq 1$ nên hiển nhiên:

$\sum x\geq \sum x^{2};\sum x\geq \sum x^{3};\sum xy\geq 0;xyz\geq 0 $

(ĐPCM)

 

Và ta sẽ chứng minh bài toán này bằng phương pháp hàm số bậc hai như sau:

 

Cách 4: Phương pháp hàm số bậc hai:

 

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow 2\geq a\geq b\geq c\geq 1\Rightarrow c\leq a\leq 2\leq 2c$

 

Ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-5abc\leq 0\Leftrightarrow 2ca^{2}+b^{3}+c^{3}-5abc\leq 0$

 

Xét $f(a)=2ca^{2}+b^{3}+c^{3}-5abc$ là hàm số bậc hai đối với $a$ ($b,c$ là tham số) có hệ số $2c>0$.

Ta có: $a\in \left [ b;2c \right ]$

 

Để chứng minh $f(a)\leq 0$ ta cần chứng minh: $\left\{\begin{matrix} f(b)\leq 0 & \\ f(2c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$

 

Thật vậy: $\left\{\begin{matrix} f(b)=b^{2}(b-2c)+c(c^{2}-b^{2})\leq 0 & \\ f(2c)=(b-c)(b^{2}+bc-9c^{2})=-3c^{2}(b-c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$     (ĐPCM)

 


:huh:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_03

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh