Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
trong đó: a,b,c là các số thực thuộc [1;2]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
trong đó: a,b,c là các số thực thuộc [1;2]
Lấy bất biến ứng vạn biến
Bài toán: Cho $a,b,c\in \left [ 1,2 \right ]$ $CM: a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$
Lời giải:
Cách 1:
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$
$a^{3}-5a+2=(a-2)(a^{2}+2a-1)\leq 0$
$b^{3}+5a-5ab-1=(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq (b-1)(a^{2}+a+1-5a)=(b-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$
$c^{3}+5ab-5abc-1=(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^{2}+a+1-5a)=(c-1)(a^{2}-4a+1)\leq 0$
Cộng 3 bđt trên lại với nhau $\Rightarrow$ đpcm
Cách 2:
$A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\leq 5$
Do vai trò của a,b,c bình đẳng, giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
Vì $a\leq b$ và $b\leq c$ $\Rightarrow$ $(a-b)(b^2-c^2)\leq 0$ $\Rightarrow$ $ab^2+bc^2-ac^2-b^3\leq 0$ $\Rightarrow$ $b^3\leq ab^2+bc^2-ac^2$
Chia 2 vế cho $abc>0$ $\Rightarrow$ $\frac{b^2}{ca}\leq \frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{c}{b}$ (1)
Mặt khác $\frac{a^2}{bc}\leq \frac{a^2}{ac}=\frac{a}{c}$ (2) và $\frac{c^2}{ab}\leq \frac{2c}{ab}\leq \frac{2c}{b}$ (3)
Cộng vế theo vế (1);(2);(3) : $A\leq (\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )$
Vì từ giả thiết: $a\leq c\leq 2\leq 2a$ $\Rightarrow$ $\frac{2a}{c}\geq 1$ và $\frac{c}{a}\geq 1>\frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $(\frac{2a}{c}-1).(\frac{c}{a}-\frac{1}{2})\geq 0$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Tương tự: $\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{5}{2}$
Cộng vế theo vế : $A\leq 5$ (ĐPCM)
Cách 3: Đặt: $x+1=a, y+1=b , z+1=c$
$1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$
Khai triển(1) ra ta được:
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x^{2}+3\sum x+3\leq 5xyz+5\sum xy+5\sum x+5$
$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+5xyz+5\sum xy+2\geq \sum x^{3}+3\sum x^{2}$ (*)
Do $0\leq x,y,z\leq 1$
nên ta có: $(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\Rightarrow 1+\sum xy\geq xyz+\sum x$
$\Rightarrow 2+2\sum xy\geq 2xyz+2\sum x$ (**)
Từ (*) và (**) ta sẽ có điều cần chứng minh nếu:
$ 4(x+y+z)+7xyz+3\sum xy\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Do $0\leq x,y,z\leq 1$ nên hiển nhiên:
$\sum x\geq \sum x^{2};\sum x\geq \sum x^{3};\sum xy\geq 0;xyz\geq 0 $
(ĐPCM)
Và ta sẽ chứng minh bài toán này bằng phương pháp hàm số bậc hai như sau:
Cách 4: Phương pháp hàm số bậc hai:
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow 2\geq a\geq b\geq c\geq 1\Rightarrow c\leq a\leq 2\leq 2c$
Ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-5abc\leq 0\Leftrightarrow 2ca^{2}+b^{3}+c^{3}-5abc\leq 0$
Xét $f(a)=2ca^{2}+b^{3}+c^{3}-5abc$ là hàm số bậc hai đối với $a$ ($b,c$ là tham số) có hệ số $2c>0$.
Ta có: $a\in \left [ b;2c \right ]$
Để chứng minh $f(a)\leq 0$ ta cần chứng minh: $\left\{\begin{matrix} f(b)\leq 0 & \\ f(2c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$
Thật vậy: $\left\{\begin{matrix} f(b)=b^{2}(b-2c)+c(c^{2}-b^{2})\leq 0 & \\ f(2c)=(b-c)(b^{2}+bc-9c^{2})=-3c^{2}(b-c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$ (ĐPCM)
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh