Viết tổng $\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}$ thành phân số tối giản $\frac{p}{s}$. Cm: p chia hết cho 8 với mọi n>3
$\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}$
#1
Đã gửi 27-04-2016 - 16:22
Lấy bất biến ứng vạn biến
#2
Đã gửi 27-04-2016 - 20:45
Ta có $A=\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+...+\frac{2^n}{n}=\frac{p}{s}$ trong đó $p,s \in \mathbb{N^*}$ và $(p,s)=1$
Với $n=4$ thì thỏa mãn
Giả sử $A=\frac{p_n}{s_n}$ với $(p_n,s_n)=1$ và $8|p_n$
Ta có $\frac{p_{n+1}}{s_{n+1}}=\frac{p_n}{s_n}+\frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{(n+1)p_n+2^{n+1}.s_n}{(n+1).s_n}$
Đặt $n+1=2^k.m$ ($m$ lẻ). Bằng qui nạp ta chứng minh được $2^{n-2}>n+1$ với $n \ge 5$
Suy ra $s<n-2$ và ta có đpcm
- tritanngo99, PlanBbyFESN, tquangmh và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: shoc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm 9 chữ số tận cùng.Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-03-2017 shoc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm chữ số thứ $2^{2017}$ của $S$Bắt đầu bởi tritanngo99, 10-12-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ dso cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.Bắt đầu bởi tritanngo99, 04-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{a+d}{b+c}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 16-10-2016 shoc |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh