Chủ đề này có 2 trả lời

[pcfamily]

Cho các số thực $a,b,c$.
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$

[tpdtthltvp]

Cho các số thực $a,b,c$.
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$

Ta có:

$$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2(a-b)^2}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{3}{2}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\geq 2$$

Đặt  $\frac{a+b}{a-b}=x,\frac{b+c}{b-c}=y,\frac{c+a}{c-a}=z$ thì BĐT cần CM tương đương với:

$$x^2+y^2+z^2\geq 2$$

Mà ta dễ dàng CM được:

$$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$$

$$\Rightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1$$

$$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$$

Do đó:

$$x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$$

Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 29-04-2016 - 19:00

[KietLW9]

Bài này ứng dụng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức đẹp sau: $\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}\geqslant \frac{9}{4}$