Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Master]

Cho x,y,z thỏa mãn $x \geq y \geq z \geq 0.$ Chứng minh

$\frac{x^2-y^2}{z} + \frac{z^2-y^2}{x} + \frac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$

[leminhnghiatt]

Cho x,y,z thỏa mãn $x \geq y \geq z \geq 0.$ Chứng minh

$\frac{x^2-y^2}{z} + \frac{z^2-y^2}{x} + \frac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$

 

Ta có: $(x-y)(x-z) \geq 0 \iff x^2 \geq xy+xz-yz$ (1)

 

TT: $(y-x)(y-z) \leq 0 \iff y^2 \leq xy+yz-xz$ (2)

 

TT: $(z-x)(z-y) \geq 0 \iff z^2 \geq xz+yz-xy$ (3)

 

Ta có: $(1)-(2) \iff x^2-y^2 \geq 2xz-2yz \rightarrow \dfrac{x^2-y^2}{z}\geq \dfrac{2z(x-y)}{z}=2x-2y$ (4)

 

TT: $(3)-(2) \iff z^2-y^2 \geq 2xz-2xy \rightarrow \dfrac{z^2-y^2}{x}=\dfrac{2x(z-y)}{x}=2z-2y$ (5)

 

Ta có: $x+z >y \rightarrow (x+z)(x-z) \geq y(x-z) \rightarrow \dfrac{x^2-z^2}{y} \geq x-z$ (6)

 

$(4)+(5)+(6) \iff \dfrac{x^2-y^2}{z}+ \dfrac{z^2-y^2}{x}+\dfrac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$ (đpcm)

 

Dấu "=" $\iff x=y=z$

[KietLW9]

Cho x,y,z thỏa mãn $x \geq y \geq z \geq 0.$ Chứng minh

$\frac{x^2-y^2}{z} + \frac{z^2-y^2}{x} + \frac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$

Lời giải. Ta có:

 

$VT-VP=(x-y)[\frac{x-z}{z}+\frac{y-z}{z}]+(y-z)[\frac{x-y}{x}+\frac{x-z}{x}]+(x-z)[\frac{(x+z-y)}{y}]\geqslant 0$