Chủ đề này có 3 trả lời

[thang1308]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

[Ankh]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

 Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3 và bất đẳng thức AM-GM ta có

$\begin{eqnarray*}\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3 &=& a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}\\ &\geq & \sum \sqrt[3]{a^2b^2.b^2c^2}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2})\\ &=&\sum \sqrt[3]{b^4}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{c^2})\\ &\geq &2\sum \sqrt[3]{b^4ac}=2\sum a  \end{eqnarray*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 29-04-2016 - 20:31

[PlanBbyFESN]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

 

 

 

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3\geq 2(a+b+c)$     ($abc=1$)

 

Theo nguyên lí Dirichles trong 3 số $\left \{ a^{2}-1;b^{2}-1;c^{2}-1 \right \}$ tồn tại hai số cùng dấu.

Giả sử đó là $a^{2}-1$ và $b^{2}-1$:

 

$\Rightarrow (a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0\Rightarrow a^{2}b^{2}+1\geq a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{2}b^{2}+3\geq a^{2}+1+b^{2}+1\geq 2(a+b)$ (AM-GM)

 

$\Rightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+3\geq 2(a+b)+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$

 

BĐT cần CM: $b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq 2c\Leftrightarrow c(a^{2}+b^{2})\geq 2$ Đúng theo AM-GM và giả thiết $abc=1$

[KietLW9]

Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$