Chủ đề này có 5 trả lời

[gundam9a]

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

[sharker]

$\sum \frac{1}{2-a}-a^2=\sum \frac{(x-1)^2(9x-1)}{9(2x-1)}\geq 0$

[81NMT23]

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Có:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}=\frac{1}{2}(\frac{a}{2-a}+1+\frac{b}{2-b}+1+\frac{c}{2-c}+1)=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{2a-a^{2}}+\frac{b^{2}}{2b-b^{2}}+\frac{c^{2}}{2c-c^{2}})+\frac{3}{2}\geqslant \frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}$

Ta sẽ chứng minh:$\frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}\geqslant 3\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+9 \geqslant 6(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}\geqslant 0$( luôn đúng) suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[khanh2101]

Sử dụng Engel: 

$a+b+c\leq 3\Rightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{6-(a+b+c)}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[KietLW9]

$a,b,c > 0, a^2+b^2+c^2=3$ . Chứng minh rằng : $$\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c}\ge 3$$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

[holobleep]

Có:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}=\frac{1}{2}(\frac{a}{2-a}+1+\frac{b}{2-b}+1+\frac{c}{2-c}+1)=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{2a-a^{2}}+\frac{b^{2}}{2b-b^{2}}+\frac{c^{2}}{2c-c^{2}})+\frac{3}{2}\geqslant \frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}$

Ta sẽ chứng minh:$\frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}\geqslant 3\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+9 \geqslant 6(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}\geqslant 0$( luôn đúng) suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi holobleep: 30-03-2021 - 12:31