Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi song_ha: 24-04-2009 - 06:51
Algebraic number theory
#1
Đã gửi 25-05-2006 - 14:38
Có người đi quên mất lối về.....</span>
#2
Đã gửi 01-07-2006 - 11:49
#3
Đã gửi 04-07-2006 - 09:38
Trong lý thuyết vành chia có lẽ mọi người đều biết đến định lý nổi tiếng của Wedderburn đó là việc khẳng định mọi vành chia hữu hạn đều là một trường, tức là nếu vành chia D hữu hạn thì nhóm nhân D* là nhóm Abel, như vậy một cách tự nhiên khi phải chứng minh lại định lý này sẽ là thử đi chứng minh một vấn đề tổng quát hơn rằng mọi nhóm hữu hạn đều Abel, tuy nhiên điều này nhanh chóng bị phủ định và hệ quả là không phải nhóm hữu hạn nào cũng có thể bổ túc thành một vành mà phép toán ban đầu của nhóm sẽ đóng vai trò là phép nhân trong vành mới, nói cách khác với một nhóm hữu hạn (R,.) bất kỳ, không phải lúc nào cũng có thể thêm vào R một phần tử 0 và một luật hợp thành trong (+) nào đó để (R U {0},+,.) là một vành. Câu hỏi đặt ra là nhóm R phải thỏa điều kiện nào để luôn có thể "vành hóa" được R (?).
#4
Đã gửi 06-07-2006 - 22:03
Bạn nemo có viết :"hệ quả là không phải nhóm hữu hạn nào cũng có thể bổ túc thành một vành mà phép toán ban đầu của nhóm sẽ đóng vai trò là phép nhân trong vành mới, nói cách khác với một nhóm hữu hạn (R,.) bất kỳ, không phải lúc nào cũng có thể thêm vào R một phần tử 0 và một luật hợp thành trong (+) nào đó để (R U {0},+,.) là một vành"
Bạn có thể lấy 1 ví dụ về cái này được không?(tức là 1 nhóm hữu hạn mà không thể thêm 0 và phép toán + để trở thành 1 vành )
#5
Đã gửi 07-07-2006 - 17:33
• a.0=0.a=0 với mọi a thuộc R.
• R U {0} với phép toán + la nhóm Abel và 0 là phần tử trung hòa.
• a(b+c)=ab+ac và (b+c)a=ba+ca với mọi a,b,c thuộc R.
Nếu nhóm R có thể "vành hóa" được thì rõ ràng R*=(R U {0},.,+) là một vành không có ước của 0 nên nó là một thể và từ định lý wedderburn suy ra nó là một trường tức R là nhóm Abel.
Như vậy điều kiện đủ để một nhóm R vành hóa được là R phải là nhóm Abel, hệ quả là nhóm D_4, Q_8 là hai ví dụ về những nhóm không thể vành hóa được theo cách trên do chúng đều có cấp 8 nhưng không Abel.
Vậy thì điều kiện cần sẽ là gì ? Phải chăng chỉ cần tính giao hoán ? Điều này phụ thuộc nhiều vào tính chất, số các phần tử của một trường liệu có thể là một con số bất kỳ lớn hơn 1 hay không vì ta dễ dàng xây dựng được một nhóm Abel có cấp n bất kỳ (thật vậy, chẳng hạn Z_n).
Vấn đề trên có thể được giảm nhẹ điều kiện khi không cần đến R là một nhóm mà chỉ cần là một vị nhóm, tuy nhiên sự phức tạp không tăng thêm bao nhiêu vì không khó để chứng minh rằng một vành hữu hạn không có ước của 0 là một thể.
#6
Đã gửi 13-07-2006 - 21:30
1 thể mà giao hoán thì tất nhiên là 1 trường .Nhóm nhân F* của 1 trường F hữu hạn là cyclic .Như thế thì chả có gì phải bàn về nhóm hữu hạn cả
#7
Đã gửi 14-07-2006 - 08:46
Từ đây, nhóm nhân của một trường hữu hạn là cyclic nên điều kiện đủ sẽ là "Nếu nhóm hữu hạn G vành hóa được (nói cách khác G là nhóm nhân của một thể nào đó) thì G phải cyclic".
Từ điều kiện đủ, có thể kiểm tra được các kết quả rộng hơn đó là:
• Nhóm Abel hữu hạn G có thể nhúng vào nhóm nhân của một thể (không nhất thiết hữu hạn) thì G là cyclic.
• Nhóm nhân D* của một thể D giải được thì D* Abel (do đó D là trường)
Kết quả thứ 2 thực ra là tương đương vì nếu D là trường thì D* Abel và do đó giải được.
Vấn đề đặt ra là mọi nhóm cyclic hữu hạn đều là nhóm nhân của một thể nào đó hay không, và sau đó bỏ điều kiện hữu hạn thì những nhóm hữu hạn nào có thể nhúng vào nhóm nhân D* của một thể D nào đó ?
#8
Đã gửi 18-07-2006 - 22:36
Từ suy luận của bạn 1 nhóm hữu hạn có thể bổ sung 0 để trở thành 1 vành thì phải là 1 thể nó là 1 trường (vì hữu hạn)
1 trường hữu hạn có p^{n} phần tử nhóm hữu hạn(mà có thể bổ sung thành 1 vành được) phải là cyclic có p^{n}-1 phần tử.
Ngược lại ,1 nhóm cyclic có p^{n}-1 phần tử có thể bổ sung thêm phần tử 0 để thành 1 trường (bằng cách cho tương ứng phần tử với 1 trường nào đó có p^{n} phần tử)
Câu hỏi thứ 2 trông có vẻ rất khó đấy
#9
Đã gửi 20-07-2006 - 10:42
Câu hỏi thứ 2 nảy sinh khi xét các chuỗi tâm của nhóm nhân một thể, để giảm bới khó khăn hãy thử với tính lũy linh thay vì tính giải được.
p/s: Trong khi đặt những câu hỏi này, mình có tìm được những kết quả rất thú vị của Amitsur về vấn đề này (năm 1955), tuy nhiên một bài báo gốc của Amitsur thì mình vẫn chưa tìm được trên mạng.
#10
Đã gửi 31-08-2006 - 16:43
cho (G,*) là một phỏng nhóm,bằng kiến thức tập hợp hãy xây dựng một phỏng nhóm (H,*) là mở rọng của G để phương trình sau luôn có nghiệm trong H
x*x =a với a H
Các bác đừng xem thường bai` này em nghĩ nó co một vai tro` rất quan trộng trong số học đấy,co bác nao` thật sự giúp em khong,đơn gian không hả các bac
#11
Đã gửi 31-08-2006 - 17:05
Vi dụ:
n= 7:
7= 1+1+1+1+1+1+1
7=1+2+3+1=2+3+1+1=3+1+2+1=......
7=2+2+2+1=2+1+2+2=1+2+2+2=......
7=3+3+1=3+1+3=1+3+3
7=4+3=3+4
7=5+2=2+5
7=6+1=1+6
7=5+1+1=1+5+1=1+1+5
7=4+1+1+1=......
7=3+1+1+1
7=.........
#12
Đã gửi 01-09-2006 - 22:30
#13
Đã gửi 01-09-2006 - 22:53
Nếu tôi không nhầm thì thuật ngữ "nguyên đóng" của bạn chính ra nên là "đóng nguyên". Khác với tiếng Việt, trong tiếng Anh tính từ thường đứng trước - vì thế khi dịch ta nên "đảo" từChứng minh rằng nếu miền nguyên A là nguyên đóng thì vành đa thức A[t] cũng nguyên đóng.
#14
Đã gửi 01-09-2006 - 22:59
#15
Đã gửi 02-09-2006 - 18:18
Theo mình, trước hết bạn phải đặt câu hỏi là có tồn tại một mở rộng như vậy không đối với mọi phỏng nhóm G (!?)cho (G,*) là một phỏng nhóm,bằng kiến thức tập hợp hãy xây dựng một phỏng nhóm (H,*) là mở rọng của G để phương trình sau luôn có nghiệm trong H
x*x =a với a thuộc H
Khái niệm phỏng nhóm là khái niệm sơ khởi nên rất tổng quát, nó rẽ ra hai hướng chính trong Đại số là Đại số kết hợp và Đại số không kết hợp. Trong đại số kết hợp, một trường hợp rất riêng của câu hỏi này là với mọi trường F liệu có tồn tại một mở rộng trường L sao cho L đóng đối với phép khai căn bậc hai hay không (!?). Một câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi trên là với trường F bất kỳ, luôn tồn tại một mở rộng L sao cho L đóng đại số.
Một vài điều để thấy rằng, dù lý thuyết tập hợp là nền tảng của Toán học nhưng nếu chỉ đơn phương dựa vào nó thì không thể giải quyết được câu hỏi của bạn vì rằng câu hỏi liên quan tới các cấu trúc Đại số trong đó có các luật hợp thành - không phải là sản phẩm của lý thuyết tập hợp thuấn túy.
cho một số tự nhiên n,có bao nhiêu cách phân tich số n thành tổng các số tụ nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn n.
Hồi còn là học sinh PT mình từng nghe nói bài toán này chưa giải được và mình không quan tâm nhiều, cũng chưa từng thử và cũng không biết nó giải được chưa nên nếu bạn đã có kết quả về bài toán, dù chưa hoàn chỉnh cũng mong bạn post lên cho mọi người tham khảo
#16
Đã gửi 04-09-2006 - 11:12
Chứng minh rằng nếu miền nguyên A là nguyên đóng thì vành đa thức A[t]cũng nguyên đóng.
Một sự tổng quát hóa sẽ là:
Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành con của một vành giao hoán http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?S. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một đa thức trong http://dientuvietnam...91;X_1,...,X_n] khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f nguyên trên http://dientuvietnam...91;X_1,...,X_n] tương đương với việc tất cả các hệ số của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f nguyên trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?R.
Chứng minh có thể cần đến hai bổ sau:
1. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là một vành giao hoán, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là đa thức monic trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R[X], khi đó tồn tại một vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S với tính chất, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R có thể xem như vành con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f biểu diễn được dưới dạng tích các nhân tử tuyến tính trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S[X].
2. Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là vành con của vành giao hoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S, các hệ số của đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f.g trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S[X] nguyên trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R thì các hệ số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g cũng nguyên trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R.
#17
Đã gửi 04-09-2006 - 16:39
Đây là lời giải của 1 người bạn.Gọi K là trường các thương của A,K(X) là trường các thương của K[X],A(X) là trường các thương của A[X].Trước hết A(X)=K(X),thật vậy: rõ ràng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{P}{Q} nguyên trên http://dientuvietnam...i?A[X],suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{P}{Q} cũng nguyên trên K[X].K là trường-->K[X] là UFD-->K[X] là đóng nguyên-->http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{P(X)}{q} là nguyên trên A[X] thì q|P(X) trong A[X].Bài này chắc là dễ!Chứng minh rằng nếu miền nguyên A là nguyên đóng thì vành đa thức A[t] cũng nguyên đóng.
Bây giờ mình thấy cái đoạn đầu không cần thiết.
#18
Đã gửi 15-01-2007 - 01:41
For each irreducible character $ \chi_i, <\chi^{reg},\chi_i> $ divides the order G
ai biết trình bày cho tôi với ở đây<..,...> là "Inner products of characters"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 2422005: 15-01-2007 - 01:57
#19
Đã gửi 23-01-2007 - 13:56
#20
Đã gửi 17-07-2007 - 13:58
Thế nào là nguyên đóng nhỉ?
Cái lè tui copy trên Wiki xuống cho bồ à nha:
Integrally closed
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the concept of integrally closed has two meanings, one for groups and one for rings.
Commutative rings
A commutative ring R contained in a ring S is said to be integrally closed in S if every element of the integral closure of R in S is also in R. That is, every monic polynomial with coefficients in R has all of its roots in R. Typically if one refers to a domain being integrally closed without reference to an overring, it is meant that the ring is integrally closed in its field of fractions.
If the ring is not a domain, typically being integrally closed means that every local ring is an integrally closed domain.
Sometimes a domain that is integrally closed is called "normal" if it is integrally closed and being thought of as a variety. In this respect, the normalization of a variety (or scheme) is simply the Spec of the integral closure of all of the rings.
Ordered groups
An ordered group G is called integrally closed if and only if for all elements a and b of G, if an ≤ b for all natural n then a ≤ 1.
This property is somewhat stronger than the fact that an ordered group is Archimedean. Though for a lattice-ordered group to be integrally closed and to be Archimedean is equivalent. We have the surprising theorem that every integrally closed directed group is already abelian. This has to do with the fact that a directed group is embeddable into a complete lattice-ordered group if and only if it is integrally closed. Furthermore, every archimedean lattice-ordered group is abelian.
Have fun!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PnAT: 17-07-2007 - 19:15
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh