Tìm tât cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
$x^5+4^y=2013^z$
Tìm tât cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
$x^5+4^y=2013^z$
Đặt $y=5k+r$ với $k \in \mathbb{N}, r \in \{0,1,2,3,4\}$
Ta có $x^5 \equiv 0,1,11 \pmod{11}$ mà $2013 \vdots 11$
Do vậy $4^{5k+r} \equiv 0,1,11 \pmod{11}$
Mà $11|4^5-1$ do đó $r=0$
Suy ra $y=5k$ . Để cho dễ quan sát ta đặt $a=x,b=4^k$ với $b$ là số nguyên dương
Khi đó $a^5+4^y=x^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4)=2013^z$
Gọi $p$ là ước nguyên tố chung của $a+b$ và $a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4$
Từ đó suy ra $p|[(a+b)^2-2ab]^2-(ab)^2-ab[(a+b)^2-2ab]$ do đó $p|5(ab)^2$
Vì $5 \not | 2013$ do đó $p|a$ hoặc $p|b$
Nếu $p|a$ thì do $p|a+b$ nên $p|b=4^k$ như vậy $p=2$ nhưng mâu thuẫn vì $a=x$ là một số lẻ
Tương tự như vậy $p|b$ ta cũng gặp mâu thuẫn
Do đó $gcd(a+b,a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4)=1$
Dễ thấy $a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4 \ge a+b$
Trường hợp 1 : $a+b=3^z,a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4=\frac{a^5+b^5}{a+b}=671^z$
Hiển nhiên $(a+b)^5>a^5+b^5$ suy ra $(a+b)^4=81^z>\frac{a^5+b^5}{a+b}=671^z$ (vô lí)
Trường hợp 2 : $a+b=11^z,\frac{a^5+b^5}{a+b}=183^z$
Dễ thấy $a,b \equiv 1 \mod{3}$
Từ đó $183^z=a^4-a^3b+(ab)^2-ab^3+b^4 \equiv 1 \pmod{3}$ (vô lí)
Trường hợp 3 : $a+b=33^z,\frac{a^5+b^5}{a+b}=61^z$
Ta áp dụng bất đẳng thức sau $\frac{a^n+b^n}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^n$ (bất đẳng thức này đã quá quen thuộc với mọi người nên mình xin không chứng minh dài dòng ở đây)
Thì ta có $a^5+b^5 \ge \frac{(a+b)^5}{16}>(a+b)^3$ hay $61^z=\frac{a^5+b^5}{a+b}>(a+b)^2=(33^z)^2$ (vô lí)
Vậy không tồn tại $x,y,z$ nguyên dương thỏa phương trình đã cho.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 13-05-2016 - 23:20
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm 9 chữ số tận cùng.Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-03-2017 shoc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm chữ số thứ $2^{2017}$ của $S$Bắt đầu bởi tritanngo99, 10-12-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ dso cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.Bắt đầu bởi tritanngo99, 04-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{a+d}{b+c}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 16-10-2016 shoc |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh