Đến nội dung


Hình ảnh

Gọi a,b,c là các nghiệm của phương trình: $x^3=x+1$.Tính:

shoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1643 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 13-05-2016 - 23:49

Gọi a,b,c là các nghiệm của phương trình: $x^3=x+1$.Tính:

$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$



#2 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-05-2016 - 23:07

Bạn quy đồng lên hết viet là ra à



#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 19-06-2016 - 21:54

Nếu đổi đề một chút thì sao?

Gọi $a,b,c$ là các nghiệm của phương trình $x^3=x+1$ thỏa $a<b<c$.Tính:

$\frac{1-a}{1+b}+\frac{1-b}{1+c}+\frac{1-c}{1+a}.$


Đời người là một hành trình...


#4 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 15-06-2022 - 10:06

Ok, $6$ năm không ai giải thì nay cũng đến lúc dọn dẹp bài của An Infinitesimal.

Thực tế thì bài toán bạn đặt ra vốn không giải được, do phương trình $x^3 -x-1=0$ vốn dĩ chỉ có $1$ nghiệm thực mà thôi. Nên để bài toán bạn đặt ra đúng, tôi sẽ sửa đề lại như sau:

 

Đó là xét trên phương trình: $x^3 + x^2 -2x-1=0$

 

Lưu ý là ở đây tôi đưa ra cách tổng quát có thể áp dụng cho tất cả các phương trình bậc $3$ có $3$ nghiệm thực, không nhất thiết phân biệt. :D 

 

Để tính $ \mathcal{P}(a;b;c) = \frac{1-a}{1+b} + \frac{1-b}{1+c}+ \frac{1-c}{1+a}$  với $ a<b<c$ là $3$ nghiệm của phương trình $x^3 + x^2 -2 x -1 =0$, ta cần đi tính $2$ đại lượng:

 

$ m = ab^2 + bc^2 +ca^2 $ và $ n = a^2b + b^2 c+ c^2 a$

 

Ta chú ý: $ m-n= (a-b)(b-c)(c-a)$ $(*)$ và $ m+n+ 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ $(**)$ 

Theo định lý Viet thì: $ a+b +c = -1; ab + bc + ca = -2; abc = 1$

 

Từ $(**)$ , suy ra $ m+n = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc = -1$ $(***)$

 

Do $ (a-b)(b-c)(c-a)$ là đại lượng không đối xứng với $3$ biến $a;b;c$, không thể tính được thông qua định lý Viet, nên để lách qua đoạn này, ta đi tính $ \big( (a-b)(b-c)(c-a) \big)^2$

 

Sơ sơ là vậy, để lát nữa rảnh rỗi thì làm chi tiết ra.

 

Ta đi tính vài đại lượng sau:

 

* $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc = -1-6+3$

 

$\implies a^3 + b^3 + c^3 = -4 \  (1)$

* $a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3 = (ab+bc+ca)^3 - 3abc(ab+bc+ca)(a+b+c) + 3a^2 b^2 c^2 = -8-6+3 = -11 \ (2)$

 

* $ a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) =  1 +4 = 5  \ (3)$

 

Suy ra: $ \big( (a-b)(b-c)(c-a) \big)^2 = (m-n)^2 = (m+n)^2 - 4mn = 1 - 4 \left( (a^3 b^3 +  b^3 c^3 + c^3 a^3) + abc(a^3+b^3+c^3) + 3 a^2 b^2 c^2 \right) = 1 - 4( -11-4+3) = 49 $ (theo $(1);(2)$)

 

$ \implies m-n = (a-b)(b-c)(c-a) = 7$ $(****)$

 

Từ $(***); (****)$, suy ra: $ m = 3$ $(4)$

 

Suy ra: $\mathcal{P}(a;b;c) = \frac{3+(a+b+c) - (a^2+b^2+c^2) - (ab^2 + bc^2 + ca^2)}{(1+a)(1+b)(1+c)} = \frac{3-1  - 5 - m}{1+ (a+b+c)+ (ab+bc+ca)+abc} $

$\big($ Ở đây sử dụng $(3)$;$(4)$ $\big)$

$= \frac{-3 - 3}{1-1-2 +1} = 3 + 3 =  6$

 

Tức là: $ \frac{1-a}{1+b} + \frac{1-b}{1+c}+ \frac{1-c}{1+a} =6$ 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 15-06-2022 - 23:31

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh