Gọi a,b,c là các nghiệm của phương trình: $x^3=x+1$.Tính:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$
Gọi a,b,c là các nghiệm của phương trình: $x^3=x+1$.Tính:
$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$
Nếu đổi đề một chút thì sao?
Gọi $a,b,c$ là các nghiệm của phương trình $x^3=x+1$ thỏa $a<b<c$.Tính:
$\frac{1-a}{1+b}+\frac{1-b}{1+c}+\frac{1-c}{1+a}.$
Đời người là một hành trình...
Ok, $6$ năm không ai giải thì nay cũng đến lúc dọn dẹp bài của An Infinitesimal.
Thực tế thì bài toán bạn đặt ra vốn không giải được, do phương trình $x^3 -x-1=0$ vốn dĩ chỉ có $1$ nghiệm thực mà thôi. Nên để bài toán bạn đặt ra đúng, tôi sẽ sửa đề lại như sau:
Đó là xét trên phương trình: $x^3 + x^2 -2x-1=0$
Lưu ý là ở đây tôi đưa ra cách tổng quát có thể áp dụng cho tất cả các phương trình bậc $3$ có $3$ nghiệm thực, không nhất thiết phân biệt.
Để tính $ \mathcal{P}(a;b;c) = \frac{1-a}{1+b} + \frac{1-b}{1+c}+ \frac{1-c}{1+a}$ với $ a<b<c$ là $3$ nghiệm của phương trình $x^3 + x^2 -2 x -1 =0$, ta cần đi tính $2$ đại lượng:
$ m = ab^2 + bc^2 +ca^2 $ và $ n = a^2b + b^2 c+ c^2 a$
Ta chú ý: $ m-n= (a-b)(b-c)(c-a)$ $(*)$ và $ m+n+ 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ $(**)$
Theo định lý Viet thì: $ a+b +c = -1; ab + bc + ca = -2; abc = 1$
Từ $(**)$ , suy ra $ m+n = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc = -1$ $(***)$
Do $ (a-b)(b-c)(c-a)$ là đại lượng không đối xứng với $3$ biến $a;b;c$, không thể tính được thông qua định lý Viet, nên để lách qua đoạn này, ta đi tính $ \big( (a-b)(b-c)(c-a) \big)^2$
Sơ sơ là vậy, để lát nữa rảnh rỗi thì làm chi tiết ra.
Ta đi tính vài đại lượng sau:
* $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc = -1-6+3$
$\implies a^3 + b^3 + c^3 = -4 \ (1)$
* $a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3 = (ab+bc+ca)^3 - 3abc(ab+bc+ca)(a+b+c) + 3a^2 b^2 c^2 = -8-6+3 = -11 \ (2)$
* $ a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) = 1 +4 = 5 \ (3)$
Suy ra: $ \big( (a-b)(b-c)(c-a) \big)^2 = (m-n)^2 = (m+n)^2 - 4mn = 1 - 4 \left( (a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3) + abc(a^3+b^3+c^3) + 3 a^2 b^2 c^2 \right) = 1 - 4( -11-4+3) = 49 $ (theo $(1);(2)$)
$ \implies m-n = (a-b)(b-c)(c-a) = 7$ $(****)$
Từ $(***); (****)$, suy ra: $ m = 3$ $(4)$
Suy ra: $\mathcal{P}(a;b;c) = \frac{3+(a+b+c) - (a^2+b^2+c^2) - (ab^2 + bc^2 + ca^2)}{(1+a)(1+b)(1+c)} = \frac{3-1 - 5 - m}{1+ (a+b+c)+ (ab+bc+ca)+abc} $
$\big($ Ở đây sử dụng $(3)$;$(4)$ $\big)$
$= \frac{-3 - 3}{1-1-2 +1} = 3 + 3 = 6$
Tức là: $ \frac{1-a}{1+b} + \frac{1-b}{1+c}+ \frac{1-c}{1+a} =6$
Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 15-06-2022 - 23:31
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm 9 chữ số tận cùng.Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-03-2017 shoc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm chữ số thứ $2^{2017}$ của $S$Bắt đầu bởi tritanngo99, 10-12-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ dso cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.Bắt đầu bởi tritanngo99, 04-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{a+d}{b+c}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 16-10-2016 shoc |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh