Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eminemdech: 14-05-2016 - 15:57


#2
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c)$

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ac+2abc=1$

Đặt $a=\dfrac{x}{y+z}, b=\dfrac{y}{x+z}, c=\dfrac{z}{x+y}$

BĐT cần chứng minh trở thành:

$\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y})$

hay $x(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})+z(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y})$

 

Sử dụng BĐT thức quen thuộc $ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} \ge \dfrac{4}{m+n}$ với $m, n$ nguyên dương được đpcm



#3
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ac+2abc=1$

Đặt $a=\dfrac{x}{y+z}, b=\dfrac{y}{x+z}, c=\dfrac{z}{x+y}$

BĐT cần chứng minh trở thành:

$\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y})$

hay $x(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})+z(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y})$

 

Sử dụng BĐT thức quen thuộc $ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} \ge \dfrac{4}{m+n}$ với $m, n$ nguyên dương được đpcm

cho mình hỏi từ đâu bạn nãy ra việc chọn $a=\dfrac{x}{y+z}, b=\dfrac{y}{x+z}, c=\dfrac{z}{x+y}$ vậy






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh