Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

3 - Mở rộng: Đánh giá từng biến


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-05-2016 - 19:59

Đây sẽ là các bài toán nối tiếp chuyên đề: Đánh giá từng biến, đã đăng tại:
 
 
 Mở đầu:
 
 Bài toán 1: (13/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5.$
 
 
 Bài toán 2: (14/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 9.$
 
 
 Bài toán 3: (15/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2k \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3k.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3k^{n}\leq x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq k^{n}+(2k)^{n}$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là số thực dương cho trước.


#2 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-05-2016 - 20:02

 :))



#3 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 16-05-2016 - 17:20

 Bài toán 4:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 3 bài toán 1, 2 và 3 chưa?
 
 :)


#4 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 17-05-2016 - 07:04

 Bài toán 5:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{2}{11-\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}+\frac{xy+yz+zx}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 1 và 4 chưa ạ?


#5 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 18-05-2016 - 07:14

 Bài toán 6:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{2\left [ 18-\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right ) \right ]}{11-\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}-\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xy+yz+zx+7}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 2 và 5 chưa ạ?
 
 :))


#6 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 19-05-2016 - 08:42

 Bài toán 7:

 
 
Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1; 3 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+12xyz+72}{xy+yz+zx}-\frac{1}{2}xyz.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 19-05-2016 - 08:43


#7 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 19-05-2016 - 09:47

 

 Bài toán 7:

 
 
Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1; 3 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+12xyz+72}{xy+yz+zx}-\frac{1}{2}xyz.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa ạ?

 

Bài 7 là đề thi ĐH năm 2015 bài này đặt về t=ab+bc+ca và từ đk ta tìm được [11;12] và hàm theo f(t) là hàm đồng biến  :icon6:



#8 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 20-05-2016 - 06:43

 Bài toán 8:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
 1)
 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ y\geq 3 \\ z\geq 1 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 26.$
 
 2)
 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ x+y\geq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 26.$
 
 3)
 
$\left\{\begin{matrix}0\leq z\leq y\leq x\leq 4 \\ x+y\leq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 26.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 4 và 7 chưa ạ?
 
  :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 22-05-2016 - 08:55


#9 toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bờ bên kia...
  • Sở thích:Toán học, Vật Lí, Phim, Âm Nhạc, Bóng đá...

Đã gửi 20-05-2016 - 07:36

 

Đây sẽ là các bài toán nối tiếp chuyên đề: Đánh giá từng biến, đã đăng tại:
 
 
 Mở đầu:
 
 Bài toán 1: (13/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5.$
 
 
 Bài toán 2: (14/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 9.$
 
 
 Bài toán 3: (15/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2k \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3k.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3k^{n}\leq x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq k^{n}+(2k)^{n}$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là số thực dương cho trước.

 

VÌ không có thời gian nên chém tặng topic bài 1 vậy :))))))

$x^2+y^2+z^2\geq 2x-1+2y-1+2z-1=6-3=3 (Cauchy)$

Chứng minh vế còn lại.

Theo giả thiết của đề bài, ta có: 

$(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0<=>2(xy+yz+zx)\geq 4x+4y+4z-8+xyz\geq 4$

Lại có $(x+y+z)^2=9=>x^2+y^2+z^2\leq 5$ 

Hoàn tất chứng minh.


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#10 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 20-05-2016 - 15:44

VÌ không có thời gian nên chém tặng topic bài 1 vậy :))))))

$x^2+y^2+z^2\geq 2x-1+2y-1+2z-1=6-3=3 (Cauchy)$

Chứng minh vế còn lại.

Theo giả thiết của đề bài, ta có: 

$(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0<=>2(xy+yz+zx)\geq 4x+4y+4z-8+xyz\geq 4$

Lại có $(x+y+z)^2=9=>x^2+y^2+z^2\leq 5$ 

Hoàn tất chứng minh.

 

 Bạn hãy thử giải bài toán 2 và bài toán tổng quát theo hướng tiếp cận đó thử xem?

 

 :)



#11 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 21-05-2016 - 07:25

 Bài toán 9:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+y+z\geq 16.$
 
 
 P/S:
 
 Bài toán 8 là một bài thú vị.
 
  :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 22-05-2016 - 08:54


#12 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-05-2016 - 07:50

 

 Bài toán 9:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}
x\geq 4 \\ 
y\geq 5 \\ 
z\geq 6 \\ 
x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 
\end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+y+z\geq 16.$
 
 
 P/S:
 
 Bài toán 8 là một bài thú vị.
 
  :)

 

Bạn ơi! Gõ latex lại xíu :D


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#13 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 21-05-2016 - 14:56

Bạn ơi! Gõ latex lại xíu :D

 

 Cảm ơn bạn, bạn có biết cách để định dạng lại phù hợp không, mình gõ như thế ở Mathscope thì được?

 

 :)



#14 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-05-2016 - 15:46

 Cảm ơn bạn, bạn có biết cách để định dạng lại phù hợp không, mình gõ như thế ở Mathscope thì được?

 

  :)

Thay vì xuống dòng, bạn có thể viết là \left\{\begin{matrix} x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right. Nhớ cho vào dấu $ là được. Bài của bạn được sửa lại như sau

Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x+y+z \geq 16$


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#15 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 22-05-2016 - 08:58

 Bài toán 10:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ x+y\geq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{n}+y^{n}+z^{n}\geq 4^{n}+3^{n}+1$,
 
 với $n\in \mathbb{N}, n> 1.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 6 và 9 chưa ạ?
 
 *minhrongcon2000: Cảm ơn bạn, mình đã sửa những lỗi ở trên
 
 :)


#16 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 23-05-2016 - 07:59

 Bài toán 11:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq z\leq y\leq x\leq 4 \\ x+y\leq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq 4^{n}+3^{n}+1$,
 
 với $n\in \mathbb{N}, n> 1.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có cách tiếp cận cho bài toán tổng quát của bài toán 8.2 ở trên chưa (Bài toán 10)?


#17 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 24-05-2016 - 10:36

 Bài toán 12:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho ý tổng quát của bài toán 8.3 (Bài toán 11) chưa ạ?


#18 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 24-05-2016 - 11:28

 

 Bài toán 12:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}.$
 

 

 

 

Áp dụng khai triển $Abel$, ta có:

$$3x^2+2y^2+z^2=3x.x+2y.y+z.z=z(z-y)+(2y+z)(y-x)+x(3x+2y+z)\leq z-y+3(y-x)+4x=x+2y+z=\frac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \frac{1}{3}(4+6)=\frac{10}{3}$$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\frac{1}{3},y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-05-2016 - 11:28

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#19 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 25-05-2016 - 09:04

Bài toán 13:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3x^{n}+2y^{n}+z^{n}\leq 3\left [ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+1 \right ]$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1.
 
 
 P/S:
 
 Đây là bài toán tổng quát của Bài toán 12.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 25-05-2016 - 09:06


#20 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 26-05-2016 - 08:13

 Bài toán 14:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{3}$, thoả mãn:

 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=6\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 13 chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 26-05-2016 - 08:13





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh