Chủ đề này có 5 trả lời

[Ego]

Macedonia TST 2016

Ngày 1
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$. $G$ là một điểm trong mặt phẳng sao cho $ABGH$ là hình bình hành. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $GH$ sao cho đường $AC$ chia đôi đoạn $HI$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $GCI$ tại điểm $J$ khác $C$. Chứng minh rằng $IJ = AH$.
Bài 2. Cho lưới vuông kích thước $2n\times 2n$, chứa các ô vuông đơn vị trắng. Trong một nước đi một người có thể đổi màu của ba ô liên tiếp trong cùng một hàng hoặc một cột, với quy ước trắng thành đen và đen thành trắng. Xác định tất cả số nguyên dương $n \ge 2$, sao cho với hữu hạn nước đi, ta có thể thu được một bàn cờ vua.
Bài 3. Cho $m > n$ là các số nguyên dương. Ta định nghĩa dãy $x_{k} = \frac{m + k}{n + k}$ với $k = 1, 2, \cdots , n + 1$. Chứng minh rằng nếu $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n + 1}$ đều là các số nguyên thì $\left(\prod_{i = 1}^{n + 1}x_{i}\right) - 1$ chia hết cho ít nhất một ước nguyên tố lẻ.

Nguồn

AoPS.com

[Ego]

Bài 1. Xét phép tịnh tiến theo $\vec{AH}$ biến điểm $I$ thành điểm $D$. Dễ thấy $AHDI$ là hình bình hành. Gọi $T$ là giao điểm của $HI$ với $AC$, từ giả thiết thì $T$ là trung điểm $IH$. Mặt khác, $D$ là điểm sao cho $T$ là trung điểm $AD$, từ đây suy ra $D$ thuộc $AC$.

Ta cần chứng minh $IJ = AH$ hay $IJ = ID$ hay $\angle IJD = \angle IDJ$.
Dễ thấy $\angle IDJ = \angle HAC = 90^{\circ} - \angle C$

Mặt khác, $\angle IJD = \angle IJC = \angle IGC$ do $IJGC$ nội tiếp.
Dễ thấy là $\angle GBC = 90^{\circ}$ và $\begin{cases}CH \perp AB \\ GH // AB\end{cases} \implies \angle CHG = 90^{\circ}$ hay tứ giác $BHCG$ nội tiếp, hay $\angle HGC = \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C$.
Từ đó ta có đpcm. 

Hình vẽ bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 16-05-2016 - 16:54

[canhhoang30011999]

 

Macedonia TST 2016

Ngày 1
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$. $G$ là một điểm trong mặt phẳng sao cho $ABGH$ là hình bình hành. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $GH$ sao cho đường $AC$ chia đôi đoạn $HI$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $GCI$ tại điểm $J$ khác $C$. Chứng minh rằng $IJ = AH$.
Bài 2. Cho lưới vuông kích thước $2n\times 2n$, chứa các ô vuông đơn vị trắng. Trong một nước đi một người có thể đổi màu của ba ô liên tiếp trong cùng một hàng hoặc một cột, với quy ước trắng thành đen và đen thành trắng. Xác định tất cả số nguyên dương $n \ge 2$, sao cho với hữu hạn nước đi, ta có thể thu được một bàn cờ vua.
Bài 3. Cho $m > n$ là các số nguyên dương. Ta định nghĩa dãy $x_{k} = \frac{m + k}{n + k}$ với $k = 1, 2, \cdots , n + 1$. Chứng minh rằng nếu $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n + 1}$ đều là các số nguyên thì $\left(\prod_{i = 1}^{n + 1}x_{i}\right) - 1$ chia hết cho ít nhất một ước nguyên tố lẻ.

Nguồn

AoPS.com

 

Cho mình hỏi bàn cờ vua ở đây là $8*8$ hay là  chỉ cần xen kẽ là được?

P/s: sao bạn cập nhật được nhanh vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 18-05-2016 - 17:19

[Ego]

Theo ý mình nghĩ bàn cờ vua định nghĩa là hai ô cạnh nhau (có cạnh chung) sẽ khác màu nhau.

À, thì mình thấy trên AoPS nên dịch đem về :3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-05-2016 - 15:56

[ineX]

Bài 1. Xét phép tịnh tiến theo $\vec{AH}$ biến điểm $I$ thành điểm $D$. Dễ thấy $AHDI$ là hình bình hành. Gọi $T$ là giao điểm của $HI$ với $AC$, từ giả thiết thì $T$ là trung điểm $IH$. Mặt khác, $D$ là điểm sao cho $T$ là trung điểm $AD$, từ đây suy ra $D$ thuộc $AC$.

Ta cần chứng minh $IJ = AH$ hay $IJ = ID$ hay $\angle IJD = \angle IDJ$.
Dễ thấy $\angle IDJ = \angle HAC = 90^{\circ} - \angle C$

Mặt khác, $\angle IJD = \angle IJC = \angle IGC$ do $IJGC$ nội tiếp.
Dễ thấy là $\angle GBC = 90^{\circ}$ và $\begin{cases}CH \perp AB \\ GH // AH\end{cases} \implies \angle CHG = 90^{\circ}$ hay tứ giác $BHCG$ nội tiếp, hay $\angle HGC = \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C$.
Từ đó ta có đpcm. 

ABC.png

Hình vẽ bài toán

AB chứ ạ?

[JUV]

Lời giải bài 2 mình đã đăng trên topic Marathon tổ hợp rời rạc rồi, mình sẽ đăng lại lên đây cho bạn nào chưa biết

Xét $n$ chia hết cho 3, khi đó chia bảng $2n\times 2n$ thành các bảng $3\times 3$. Từ mỗi bảng $3\times 3$ đó có thể tạo được 1 bàn cờ vua $3\times 3$ để ghép lại thành 1 bàn cờ vua $2n\times 2n$

Xét $n$ không chia hết cho 3, giả sử bảng $2n\times 2n$ ban đầu có thể biến đổi thành 1 bàn cờ vua. Nếu thế thì khi biến đổi được bảng về 1 bảng cờ vua thì luôn có 2 trong 4 góc bảng màu trắng (Vì $2n$ là số chẵn). Giả sử góc trên cùng bên trái màu trắng sau khi ta lập được 1 bàn cờ vua. Ta sẽ đánh số 1,2,3 vào các ô của bảng thoả mãn điều kiện: 

-Ô bên trái trên cùng đánh số 1

-Ô kề trái những ô đánh số 1,2,3 thì được đánh số lần lượt là 2,3,1. Nếu như ô cuối của hàng được đánh số 1,2,3 thì ô đầu tiên của hàng bên dưới hàng đó được đánh số lần lượt là 2,3,1.

Vì $n$ không chia hết cho 3 nên 3 ô liên tiếp nằm trên cùng 1 hàng hoặc cột được đánh cả 3 số 1,2,3. Vì vậy mỗi lần đổi màu thì số ô đen được đánh dấu số 1 hoặc là tăng lên 1, hoặc là giảm 1. Tương tự với các ô đánh số 2,3. Vì vậy số các ô được đánh số 1,2,3 sau lần đổi màu thứ $n+1$ lần lượt khác tính chẵn lẻ với số các ô được đánh số 1,2,3 sau lần đổi màu thứ $n$.Vì vậy tại mọi thời điểm, số các ô dược đánh số 1,2,3 luôn cùng tính chẵn lẻ với nhau. Nhưng nếu xét bàn cờ vua đã cho,vì ô trên cùng bên trái màu trắng nên số các ô được đánh số 1 là $\frac{2n^2-2}{3}$, số các ô được đánh số 2 và 3 là $\frac{2n^2-2}{3}+1$. 3 số này không cùng tính chẵn lẻ nên suy ra giả sử sai