Chủ đề này có 10 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho $a,b,c>0$ và $\sum a=3$. Tìm Max:

$P=\sum \frac{ab}{3+c^2}$

[Chris yang]

 

Cho $a,b,c>0$ và $\sum a=3$. Tìm Max:

$P=\sum \frac{ab}{3+c^2}$

 

Dễ CM $ab+bc+ac\leq 3$. Do đó áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

$P\leq \sum \frac{ab}{ab+bc+ac+c^2}=\sum \frac{ab}{(a+c)(c+b)}\leq \frac{1}{4}\sum \left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )=\frac{3}{4}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 17-05-2016 - 17:55

[leminhnghiatt]

Dễ CM $ab+bc+ac\leq 3$. Do đó áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

$P\leq \sum \frac{ab}{ab+bc+ac+c^2}=\sum \frac{ab}{(a+c)(c+b)}\leq \frac{1}{4}\sum \left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )=\frac{3}{4}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

Hình như chỗ này có vấn đề rồi chị:

 

$\sum \frac{ab}{(a+c)(c+b)}\leq \frac{1}{4}\sum \left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )=\frac{3}{4}$

 

Chỉ có: $\dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a})$ chứ ak

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 17-05-2016 - 18:05

[Chris yang]

Cho $a,b,c>0$ và $\sum a=3$. Tìm Max:

$P=\sum \frac{ab}{3+c^2}$

Xin lỗi các bạn vì lời giải nhầm phía bên trên

Bài toán này dễ thấy $a=b=c=1$ là điểm rơi, tức giá trị $P=\frac{3}{4}$. Nếu max là $\frac{3}{4}$ thì bài toán sai với $a=1,5;b=1,25$ và $c=0,25$

[PlanBbyFESN]

 

 

Em nhầm

 

------------------------------------

Bài này sao thấy hơi lạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 17-05-2016 - 21:41

[ngothithuynhan100620]

vậy bài này giải sao?

[HDTterence2k]

Xin lỗi các bạn vì lời giải nhầm phía bên trên

Bài toán này dễ thấy $a=b=c=1$ là điểm rơi, tức giá trị $P=\frac{3}{4}$. Nếu max là $\frac{3}{4}$ thì bài toán sai với $a=1,5;b=1,25$ và $c=0,25$

Bài toán này không hề sai một chút nào , .bài toán này khá chăt nên ta phải sử dụng tới phép dồn về tổng hiệu sau đó xét hàm số ( do lời giải bài toán rất dài nên có gì mình sẽ post sau )   .. nhân tiện mình xin post kết quả của bài toán max cần tìm là $\frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \quad tại\quad a=b=\frac { \sqrt { 33 } -3 }{ 2 } ,\quad c=6-\sqrt { 33 } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HDTterence2k: 17-05-2016 - 19:44

[HDTterence2k]

Mình xin đăng một ý tưởng khác ngoài sử dụng dồn biến cho bài toán , mong mọi người góp ý kiến $ta\quad sẽ\quad chứng\quad minh\quad \sum { \frac { ab }{ 3+{ c }^{ 2 } }  } \le \quad \frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \quad .\quad ta\quad sử\quad dụng\quad một\quad kết\quad quả\quad quen\quad thuộc\quad sau:\\ P=({ a-b) }^{ 2 }({ b-c) }^{ 2 }(a-{ c) }^{ 2 }\ge \quad 0\quad \quad giải\quad bpt\quad này\quad thu\quad được\quad :\quad đặt\quad p=\sum { a,\quad q=\sum { ab,r=abc }  } \quad và\quad \begin{cases} { u }_{ 0 }=\frac { p+\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 } ,{ v }_{ 0 }=\frac { p-2\sqrt { p^{ 2 }-3q }  }{ 3 }  \\ { u }_{ 1 }=\frac { p-\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 } ,{ v }_{ 1 }=\frac { p+2\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 }  \end{cases}\quad ta\quad có\quad \quad { { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ v }_{ 0 } }\quad \le r\le { { u }_{ 1 } }^{ 2 }{ v }_{ 1 }\quad \quad và\quad \\ \begin{cases} 2{ u }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }=2{ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 }=p \\ { { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ +2{ u }_{ 0 }v }_{ 0 }={ u_{ 1 } }^{ 2 }+2{ u }_{ 1 }{ v }_{ 1 }=q } \\ { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ v }_{ 0 }\le r\le { { u }_{ 1 } }^{ 2 }{ v }_{ 1 } \end{cases}\quad dễ\quad thấy\quad sau\quad khi\quad khai\quad triển\quad ta\quad thu\quad được\quad dạng\quad sau\quad :\quad m{ x }^{ 2 }+nx+p\quad \le \quad 0\quad (\quad x=abc,\quad m\quad >0\quad )\quad là\quad hàm\quad lồi\quad trên\quad đoạn\quad liên\quad tục\\ nên\quad ta\quad chỉ\quad cần\quad xét\quad trong\quad trường\quad hợp\quad 2\quad biến\quad bằng\quad nhau\quad :\quad Giả\quad sử\quad a=b\quad ,\quad c=3-2a\quad ta\quad cần\quad cm\quad :\quad \frac { { (3-c) }^{ 2 } }{ 2(3+{ c }^{ 2 }) } +\frac { (3-c)c }{ 3+{ (3-c) }^{ 2 } } \quad \le \frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \\ đến\quad đây\quad ta\quad chỉ\quad cần\quad giải\quad bpt\quad .\quad $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HDTterence2k: 17-05-2016 - 20:11

[ngothithuynhan100620]

ban oi post dum minh nhanh nghe

[hoduchieu01]

Bài toán này không hề sai một chút nào , .bài toán này khá chăt nên ta phải sử dụng tới phép dồn về tổng hiệu sau đó xét hàm số ( do lời giải bài toán rất dài nên có gì mình sẽ post sau )   .. nhân tiện mình xin post kết quả của bài toán max cần tìm là $\frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \quad tại\quad a=b=\frac { \sqrt { 33 } -3 }{ 2 } ,\quad c=6-\sqrt { 33 } $

nhưng đối xứng sao ba biến lại không bằng nhau vậy bạn giải thử xem

[HDTterence2k]

nhưng đối xứng sao ba biến lại không bằng nhau vậy bạn giải thử xem

Đâu nhất thiết ba biến đối xứng thì mới bằng nhau đâu bạn , theo nhiều bài toán thì ta mới rút ra được rằng các bài toán ba biến đỗi xứng có cực trị tại tâm chứ không phải là tất cả nhé .