Cho a,b,c thực dương cmr $\frac{a}{2a+b+c}+ \frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}$
$\sum \frac{a}{2a+b+c}\leq \frac{3}{4}$
Bắt đầu bởi 01634908884, 22-05-2016 - 16:29
#2
Đã gửi 22-05-2016 - 16:38
leminhnghiatt
-
- Thành viên
-
- 1078 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b,c thực dương cmr $\frac{a}{2a+b+c}+ \frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}$
$\sum \dfrac{a}{2a+b+c}=\sum \dfrac{a}{(a+b)+(a+c)} \leq \sum \dfrac{1}{4}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})= \dfrac{3}{4}$
Dấu "=" $\iff a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-05-2016 - 16:38
- 01634908884 và hoakute thích
Don't care
#3
Đã gửi 22-05-2016 - 16:38
superpower
-
- Thành viên
-
- 492 Bài viết
Sĩ quan
Cho a,b,c thực dương cmr $\frac{a}{2a+b+c}+ \frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}$
C1: Chuẩn hoá $a+b+c=3 $
Khi đó bđt $<=> \sum \frac{a}{a+3} \leq \frac{3}{4} $
Ta chứng minh $\frac{a}{a+3} \leq \frac{3}{16} a +\frac{1}{16} <=>3(a-1)^2 \geq 0 $ đúng $
Do đó cộng lại ta có đpcm
C2: Dùng kĩ thuật tách ghép của C-S
$\sum \frac{a}{2a+b+c} \leq \sum \frac{1}{4} ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} ) \leq \frac{3}{4} $
- 01634908884 và hoakute thích
#4
Đã gửi 22-05-2016 - 16:47
hoakute
-
- Thành viên
-
- 149 Bài viết
Trung sĩ
C3: $\sum \frac{a}{2a+b+c}= \sum 1-\frac{a+b+c}{2a+b+c}= 3-(a+b+c)(\sum \frac{1}{2a+b+c})\leq 3-(a+b+c)(\frac{9}{4(a+b+c)})=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
- 01634908884 yêu thích
#5
Đã gửi 08-05-2021 - 14:43
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho a,b,c thực dương cmr $\frac{a}{2a+b+c}+ \frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}$
$\frac{3}{4}-(\frac{a}{2a+b+c}+ \frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b})=\frac{1}{4}\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(2a+b+c)(2b+c+a)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
