Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z\epsilon (0;1]$ và $\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}=0$. Tìm GTLN: $P=xy^2z^3$
Tìm GTLN: $P=xy^2z^3$
#1
Đã gửi 22-05-2016 - 16:33
#2
Đã gửi 22-05-2016 - 22:06
Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z\epsilon (0;1]$ và $\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}=0$. Tìm GTLN: $P=xy^2z^3$
Chắc đề bài cho :$\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}=1$
Xét hàm :
$ f(t) = ln(t^2) + \frac{72}{2t+5} $ trên khoảng $ t \in (0;1] ) $
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 4t^2 - 52t + 25 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} $
$f(t) \leq max ${ $\lim_{t\rightarrow 0} f(t) , f(1) , f(0.5) $}
Hay
$f(t) \leq f(0.5) $
$\Rightarrow ln(t^2) \leq 12-2ln2 - \frac{72}{2t+5} $
Thay $ t = \sqrt{x}, \sqrt{y} , \sqrt{z}$ vào ta được :
$ ln(x) \leq 12 - 2ln2 - \frac{72}{2\sqrt{x} + 5}$
$ln (y^2) \leq 2(12-2ln2) - 72\frac{2}{2\sqrt{y} + 5 } $
$ ln ( z^3) \leq 3(12-2ln2 ) - 72\frac{3}{2\sqrt{z} + 5} $
Cộng các vế với vế ta được :
$ln (x) + ln (y^2) + ln(z^3 ) \leq 6(12-2ln2) - 72 (\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}) = -12ln2 $
Hay $ln ( xy^2z^3) \leq ln ( 2^{-12} ) \rightarrow P \leq 2^{-12} $
Dấu $ "="$ xảy ra khi $z = y =x = \frac{1}{4} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 22-05-2016 - 22:08
- pndpnd yêu thích
#3
Đã gửi 23-05-2016 - 10:39
Chắc đề bài cho :$\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}=1$
Xét hàm :
$ f(t) = ln(t^2) + \frac{72}{2t+5} $ trên khoảng $ t \in (0;1] ) $
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 4t^2 - 52t + 25 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} $
$f(t) \leq max ${ $\lim_{t\rightarrow 0} f(t) , f(1) , f(0.5) $}
Hay
$f(t) \leq f(0.5) $
$\Rightarrow ln(t^2) \leq 12-2ln2 - \frac{72}{2t+5} $
Thay $ t = \sqrt{x}, \sqrt{y} , \sqrt{z}$ vào ta được :
$ ln(x) \leq 12 - 2ln2 - \frac{72}{2\sqrt{x} + 5}$
$ln (y^2) \leq 2(12-2ln2) - 72\frac{2}{2\sqrt{y} + 5 } $
$ ln ( z^3) \leq 3(12-2ln2 ) - 72\frac{3}{2\sqrt{z} + 5} $
Cộng các vế với vế ta được :
$ln (x) + ln (y^2) + ln(z^3 ) \leq 6(12-2ln2) - 72 (\frac{1}{2\sqrt{x}+5}+\frac{2}{2\sqrt{y}+5}+\frac{3}{2\sqrt{z}+5}) = -12ln2 $
Hay $ln ( xy^2z^3) \leq ln ( 2^{-12} ) \rightarrow P \leq 2^{-12} $
Dấu $ "="$ xảy ra khi $z = y =x = \frac{1}{4} $
Bạn ơi tại sao bạn lại chọn được hàm này để xét vậy? $ f(t) = ln(t^2) + \frac{72}{2t+5} $
#4
Đã gửi 23-05-2016 - 11:43
Bạn ơi tại sao bạn lại chọn được hàm này để xét vậy? $ f(t) = ln(t^2) + \frac{72}{2t+5} $
Thì $ P$ có dạng tích , điều kiện cho có dạng tổng nên ta chuyển $ P$ dưới dạng tổng bằng cách lấy $ ln$ 2 vế.
Còn việc còn lại chỉ là chọn hằng số $k $ sao cho :
$ f(t) = ln(t^2) + \frac{k}{2t+5} $ có $ f'(0.5) = 0 $
- pndpnd yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh