Đến nội dung

Hình ảnh

$x+y^2+z^3=A$

- - - - - shoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho $A$ là số nguyên không âm. Tìm tất cả nghiệm nguyên của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} & x+y^2+z^3=A\\ & \frac{1}{x}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^3}=\frac{1}{A}\\ & xy^2z^3=A^2\end{matrix}\right.$



#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Đặt $b=y^{2}, c=z^{3}$ thì hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} & x+b+c=A(1) \\ & xb+bc+cx=A^2 (2) \\ & xbc=A^2 (3) \end{matrix}\right.$

Từ $(1),(2)$ ta có:

$ xb+bc+cx=(x+b+c)^2 \geq 3(xb+bc+cx) \Rightarrow A^2 \geq 3A^2 \Rightarrow A=0=xbc. (4)$  

Mặt khác hiển nhiên $x,b,c \neq 0,$ mâu thuẫn với $(4).$ 

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 03-06-2016 - 21:23

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: shoc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh