Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.
Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.
Bắt đầu bởi tritanngo99, 23-05-2016 - 16:35
shoc
#1
Đã gửi 23-05-2016 - 16:35
#2
Đã gửi 23-05-2016 - 16:56
Vào lúc 23 Tháng 5 2016 - 16:35, tritanngo99 đã nói:Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.
Giải như sau:
Giả sử $n(n+1)(n+2)=t^2$
Đặt $d=\gcd(n^2+n,n+2)$, dễ CM $d=1$ hoặc $d=2$
TH1: $d=1$ hiển nhiên tồn tại $x,y\in\mathbb{N}$ sao cho $n(n+1)=x^2, n+2=y^2$ Mà $(n,n+1)=1$ nên $n=u^2,n+1=v^2$ ( $uv=x$)
$\Rightarrow 1=(v-u)(v+u)$, ta tìm được $u=0\rightarrow n=0$ ( vô lý vì $n\geq 1$)
TH2: $d=2$ suy ra $2|n$. Đặt $n=2k$ thì ta có $k(2k+1)(k+1)=m^2$ ( trong đó $2m=n$)
Dễ thấy rằng $k,2k+1,k+1$ đôi một nguyên tố cùng nhau, nên bản thân mỗi số trên đều là số chính phương. Tương tự TH1 ta tìm được
$k=0$, hay $n=0$ ( vô lý vì $n$ nguyên dương)
Do đó $n(n+1)(n+2)$ không phải số chính phương!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 23-05-2016 - 17:02
- tritanngo99 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: shoc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm 9 chữ số tận cùng.Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-03-2017 shoc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm chữ số thứ $2^{2017}$ của $S$Bắt đầu bởi tritanngo99, 10-12-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ dso cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.Bắt đầu bởi tritanngo99, 04-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{a+d}{b+c}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 16-10-2016 shoc |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh