Đến nội dung

Hình ảnh

Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.

shoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.



#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Vào lúc 23 Tháng 5 2016 - 16:35, tritanngo99 đã nói:
Cho n là số nguyên dương. Cm: $n(n+1)(n+2)$ không là số chính phương.

 

Giải như sau:

 
Giả sử $n(n+1)(n+2)=t^2$
 
Đặt $d=\gcd(n^2+n,n+2)$, dễ CM $d=1$ hoặc $d=2$
 
TH1: $d=1$ hiển nhiên tồn tại $x,y\in\mathbb{N}$ sao cho $n(n+1)=x^2, n+2=y^2$ Mà $(n,n+1)=1$ nên $n=u^2,n+1=v^2$ ( $uv=x$)
$\Rightarrow 1=(v-u)(v+u)$, ta tìm được $u=0\rightarrow n=0$ ( vô lý vì $n\geq 1$)
 
TH2: $d=2$ suy ra $2|n$. Đặt $n=2k$ thì ta có $k(2k+1)(k+1)=m^2$ ( trong đó $2m=n$)
Dễ thấy rằng $k,2k+1,k+1$ đôi một nguyên tố cùng nhau, nên bản thân mỗi số trên đều là số chính phương. Tương tự TH1 ta tìm được 
$k=0$, hay $n=0$ ( vô lý vì $n$ nguyên dương)
 
Do đó $n(n+1)(n+2)$ không phải số chính phương!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 23-05-2016 - 17:02






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: shoc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh