Trong lời giải này, bước chuyển pqr cần tính toán khá nhiều, chứ không phải một bước ra luôn như dùng phần mềm máy tính. Mình nghĩ trong topic này chỉ nên đăng các bất đẳng thức và lời giải có thể tính toán bằng tay thôi.
Xin được đề xuất bài toán sau:
Bài toán 20. (AoPS) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
\[ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2+7(ab+bc+ca) \leq 24.\]
Một lời giải "xấu xí" của em cho bài toán này
Lời giải bài 20.
Tương tự như anh Quý, viết lại bất đẳng thức về dạng đồng bậc là
$$81(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2)+21(ab+bc+ca)(a+b+c)^3\leq 8(a+b+c)^5$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$, khi đó ta sẽ có $c(bc-c^2)(b^2-a^2)=c^2(b+a)(b-c)(b-a)\leq 0$
Do đó mà $b^3c^2+c^3a^2\leq b^2c^3+a^2bc^2$
Ta cần chứng minh $81b\left[b(a^3+c^3)+a^2c^2\right]+21\left[b(c+a)+ca\right](a+b+c)^3\leq 8(a+b+c)^5$
Tương đương $81b\left[b(a+c)^3-3abc(a+c)+a^2c^2\right]+21\left[b(c+a)+ca\right](a+b+c)^3\leq 8(a+b+c)^5$
Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $t=ac$ thì do $(b-a)(b-c)\leq 0\Rightarrow t\leq b(a+c-b)=b(1-2b)$, từ đây cũng suy ra $b\leq \dfrac{1}{2}$
Ta cần chứng minh
$$81b\left[b(1-b)^3-3bt(1-b)+t^2\right]+21\left[b(1-b)+t\right]\leq 8$$
$$\Leftrightarrow 81b(-b^4+3b^3-3b^2+b-3bt+3b^2t+t^2)+21(-b^2+b+t)\leq 8$$
$$\Leftrightarrow 81bt^2+t(243b^3-243b^2+21)\leq 81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$$
Mà $t\leq b(1-2b)$ nên ta chỉ cần chứng minh
$$81tb(1-2b)+t(243b^3-243b^2+21)\leq 81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$$
$$\Leftrightarrow 3t(3b+1)(9b^2-21b+7)\leq 81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$$
Bây giờ, nếu $9b^2-21b+7\leq 0$ tức là $b\geq \dfrac{7-\sqrt{21}}{6}>0,4$
Khi này ta chỉ cần chứng minh $81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8\geq 0$ với $b\in \left[\dfrac{7-\sqrt{21}}{6};\dfrac{1}{2}\right]$ là đủ (thực ra nó đúng với mọi $b\geq 0$ thì phải)
Đoạn này mình chứng minh không được đẹp lắm, phải chia nhỏ ra để làm
Đặt $f(b)=81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$ với $b\in \left[\dfrac{7-\sqrt{21}}{6};\dfrac{1}{2}\right]$
Có $f'(b)=3(135b^4-324b^3+243b^2-40b-7),\ f''(b)=6(270b^3-486b^2+243b-20)>0$ nên $f'(b)$ đồng biến.
Trường hợp $0,4<b\leq 0,443$ thì $f'(b)\leq f'(0,443)<0$ nên $f(b)\geq f(0,443)>0$
Trường hợp $0,5\geq b\geq 0,4431$ thì $f'(b)\geq f'(0,4431)>0$ nên $f(b)\geq f(0,4431)>0$
Còn mà $0,443<b<0,4431$ thì $81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$
$\geq 81.0,443^5-243.0,4431^4+243.0,443^3-60.0,4431^2-21.0,4431+8>0$
Do đó $f(b)>0$ và trường hợp này đúng
Nếu $9b^2-21b+7\geq 0$, do $t\leq b(1-2b)$ nên ta chỉ cần chứng minh
$$3b(1-2b)(3b+1)(9b^2-21b+7)\leq 81b^5-243b^4+243b^3-60b^2-21b+8$$
$$\Leftrightarrow (3b-1)^2(27b^3-54b^2+6b+8)\geq 0$$
Bất đẳng thức trên đúng với mọi $0\leq b\leq \dfrac{1}{2}$ nên ta có điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 31-05-2016 - 00:14