Đến nội dung


Hình ảnh

VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

marathon aops vmf

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 162 trả lời

#161 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Đã gửi 03-08-2018 - 11:08

Bài tập : Cho $x, y$ thực dương sao cho $x+y=1$ .Tìm cực trị của $P=(x+\frac{2018}{y})^2+(y+\frac{2018}{x})^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 03-08-2018 - 11:10


#162 tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2019 - 18:23

cho a,b,c thực dương và a+b+c=1/(abc). tìm GTNN của P=(a+b)(a+c).

Em test thử ạ! Em không chắc đâu.

Từ giả thiết suy ra $a(a+b+c) = \frac{1}{bc}$ . Ta lại có:

$P = a^{2} + ab + bc + ca = a(a+b+c) + bc = \frac{1}{bc} + bc \geq 2$ (theo BĐT $AM-GM$)

Đẳng thưc xảy ra khi $bc = 1 \Leftrightarrow  a+b+\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$

Vậy $P_{min} = 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 04-06-2019 - 18:23


#163 nhatvinh2018

nhatvinh2018

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 16-08-2021 - 12:00

Viết lại bất đẳng thức về dạng thuần nhất
$4(a^4+b^4+c^4)+11abc(a+b+c)\geq 5(ab+bc+ca)^2$
$\Leftrightarrow 4(a^4+b^4+c^4)+abc(a+b+c)\geq 5(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (1)
Vì bđt này thuần nhất nên ta có thể bỏ điều kiện $ab+bc+ca=3$ và ta có thể chuẩn hóa $a+b+c=3$
Đặt $x+1=a,y+1=b,z+1=c$ từ đó ta có $x+y+z=0$
Thay $z=-x-y$ vào (1) ta có
$4(x^{4}+y^{4}+z^{4}+4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3)+ 33(xyz+xy+yz+zx+1)\geq 5(xy+yz+zx+3)^{2}$
$\Leftrightarrow 4[2(x^{2}+xy+y^{2})^{2}-12xy(x+y)+12(x^{2}+xy+y^{2})+3]+33[-xy(x+y)-(x^{2}+xy+y^{3})+1]\geq 5[3-(x^{2}+xy+y^{2})]^{2}$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}+xy+y^{2})^{2}+45(x^{2}+xy+y^{2})\geq 81xy(x+y)$
Ta có các nhận xét sau $(x^{2}+xy+y^{2})\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}\geq 3xy$ nhưng bất dẳng thức đúng nếu $xy\geq0$ mà ta có $xy.xy.zx=(xyz)^2\geq0$ nên tồn tại 1 trong 3 số có 1 số lớn hơn 0, giả sử đó là xy (thỏa điểu kiện của nhận xét)
Nên ta có
$3(x^{2}+xy+y^{2})^{2}+45(x^{2}+xy+y^{2})\geq 27x^{2}y^{2}+\frac{135}{4}(x+y)^{2}$
Bây giờ ta cm
$3(x^{2}+xy+y^{2})^{2}+45(x^{2}+xy+y^{2})\geq 27x^{2}y^{2}+\frac{135}{4}(x+y)^{2}\geq81xy(x+y)$ bất đẳng thức này dễ chứng minh

chứng minh cái bất cuối xí ,mình làm k ra







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: marathon, aops, vmf

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh