Chủ đề này có 9 trả lời

[NoEmotion]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

[the unknown]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.

Có                   $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$

                       $= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$

                       $=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.

Mặt khác         $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$

                       $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm.

[TruongQuangTan]

Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.

Có                   $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$

                       $= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$

                       $=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.

Mặt khác         $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$

                       $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm.

Cái này là 1 chứ có phải a^2 đâu???

[the unknown]

Cái này là 1 chứ có phải a^2 đâu???

Để ý dấu nhé bạn, mình đã đổi dấu rồi mà.

[lily evans]

Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$..

Bạn giải thích được không?

[TruongQuangTan]

Bạn giải thích được không?

Bạn giải thích rõ hơn bước đó được ko, mih ko hiểu, hj

[tuanyeubeo2000]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

$ Không\quad mất\quad tình\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad a\ge b\ge c->ab\ge 1\quad và\quad a+b+c\ge 3;abc\le 1\\ Ta\quad có\quad bổ\quad đề\quad :\quad \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { y }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ xy+1 } (nếu\quad xy\ge 1)\\ Áp\quad dụng\quad ta\quad có\quad :\quad \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { b }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 2 }{ ab+1 } (vì\quad ab\ge 1).\quad Nên\quad ta\quad cần\quad c/m\\ \frac { 2 }{ ab+1 } +\frac { 1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \ge \frac { 3 }{ 2 } <=>{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3ab{ c }^{ 2 }\quad hay\quad ta\quad cần\quad c/m\quad :{ c }^{ 2 }+3-ab\ge 3c\\ <=>c(c+a+b-3)\ge 0(đúng)$

[Minh Hieu Hoang]

Tương đương $\sum \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+3}\leq \frac{1}{2}$.

Có                   $\sum \frac{a^2}{3a^2+3}= \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ca}$

                       $= \sum \frac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a}{a+b+c})$

                       $=\frac{1}{4}(\sum \frac{a^2}{2a^2+bc})+\frac{1}{4}$.

Mặt khác         $\sum \frac{bc}{2a^2+bc}= \sum \frac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}=1$

                       $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Rightarrow \frac{1}{4}\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm.

ko hieeur choox nayf

[the unknown]

Bạn giải thích được không?

Bất đẳng thức tương đương $3-\sum \frac{1}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}$

ko hieeur choox nayf

Đây là mình áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, có $\sum \frac{bc}{bc+2a^2}\geq 1\Leftrightarrow 3-\sum \frac{bc}{2a^2+bc}\leq 2\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1$.

Spoiler

Nếu các bạn chưa hiểu kí hiệu Sigma $\sum$ thì có thể tham khảo ở đây http://diendantoanho...gma-đại-số-sum/

[xuantungjinkaido]

từ cái chố <=3/2 thì bạn ấy chia 3 xuống thì còn <=1/2