Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với x, y là các số thực dương:

Hình gửi kèm

  • drivermath.gif

Alpha $\alpha$ 


#2
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với x, y là các số thực dương:

$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Với $a>0$, ta có $2$ BĐT sau:

$$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{1+a+a^2-a+1}{2}\leq \frac{a^2+2}{2}(AM-GM)$$

Và:

$$2xy\leq x^2+y^2$$

Áp dụng BĐT trên, ta được:

$$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{2y}{x})^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(\frac{x+y}{y})^3}}\geq \frac{1}{\frac{\frac{4y^2}{x^2}+2}{2}}+\frac{2}{\frac{\frac{x^2+2xy+y^2}{y^2}+2}{2}}=\frac{2x^2}{4y^2+2x^2}+\frac{4y^2}{x^2+2xy+3y^2}\geq \frac{2x^2}{4y^2+2x^2}+\frac{4y^2}{4y^2+2x^2}=1$$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-05-2016 - 18:29

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#3
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

có cách khác là chứng minh $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+y^2}$ và $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq \frac{y^2}{x^2+y^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 28-05-2016 - 15:19

Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với x, y là các số thực dương:

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

           $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh