Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2y+y\sqrt{x}=4+\sqrt{y+1}\\\sqrt{x+1}+\sqrt{3y+1}=2+\sqrt{x+y} \end{matrix}\right.$
Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF
#322
Đã gửi 19-05-2017 - 22:57
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2y+y\sqrt{x}=4+\sqrt{y+1}\\\sqrt{x+1}+\sqrt{3y+1}=2+\sqrt{x+y} \end{matrix}\right.$
Bằng cái nhìn "xa xăm", ta thấy rằng $(x,y)=(2,1)$ là một nghiệm của HPT.
Hơn thế nữa, PT thứ 2 lộ diện 'thằng' $y-1$.
PT thứ 2 được viết lại:
\[\sqrt{3y+1}-2=\sqrt{x+y}-\sqrt{x+1} \iff \frac{3(y-1)}{\sqrt{3y+1}+2}=\frac{y-1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+1} }.\]
\[\iff y=1 \vee 3\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+1}=\sqrt{3y+1}+2.\]
Nhận xét: Từ phương trình thứ nhất, ta có $x> 0$ và suy ra $y>0.$
\[3\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+1}> 3\sqrt{y}+3>\sqrt{3y+1}+2.\]
Do đó $y=1$. Từ đó, ta có $x=2.$
Kiểm lại, ta thấy $(x,y)=(2,1)$ là nghiệm duy nhất của HPT.
- manhhung2013, tritanngo99 và Baoriven thích
Đời người là một hành trình...
#323
Đã gửi 20-05-2017 - 11:01
Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=4y^{2}-5y+3x+4 \\\ 2y^{3}+z^{3}=4z^{2}-5z+6y+6 \\\ 3z^{3}+x^{3}=4x^{2}-5x+9z+8 \end{matrix}\right.$
$\mathbb{VTL}$
#324
Đã gửi 21-05-2017 - 18:23
Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=4y^{2}-5y+3x+4 \\\ 2y^{3}+z^{3}=4z^{2}-5z+6y+6 \\\ 3z^{3}+x^{3}=4x^{2}-5x+9z+8 \end{matrix}\right.$
Bằng 'sự thông thái', ta nhận ra một nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2).$ Từ đó, ta nảy ra hướng đi sau.
Hệ phương trình tương đương
$$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x-2=-y^{3}+4y^{2}-5y+2 \\\ 2y^3 - 6y - 4=- z^3 + 4z^2 - 5z + 2\\\ 3z^3 - 9z - 6=- x^3 + 4x^2 - 5x + 2\end{matrix}\right.$$
$$\iff \left\{\begin{matrix} (x - 2)(x + 1)^2=-(y - 2)(y - 1)^2 \\\ 2(y - 2)(y + 1)^2=-(z - 2)(z - 1)^2 \\\ 3(z - 2)(z + 1)^2=-(x - 2)(x - 1)^2\end{matrix}\right.$$
Suy ra
\[6(x-2)(y-2)(z-2)(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=-(x-2)(y-2)(z-2)(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2.\]
\[\iff (x-2)(y-2)(z-2) \left[6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2+ (x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2\right]=0.\]
Trường hợp 1: $ (x-2)(y-2)(z-2)=0$
Hiện tại chỉ có cách chia nhiều TH... chưa có cách gọn ràng.
Trường hợp 2: $6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2+ (x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2=0$ và $ (x-2)(y-2)(z-2)\neq 0.$
Hiện tại chỉ có cách chia nhiều TH... chưa có cách gọn ràng.
- NHoang1608 và Drago thích
Đời người là một hành trình...
#325
Đã gửi 21-05-2017 - 18:37
Đúng rồi bạn An Infinitesimal, bài này mình lấy từ báo THTT cũng chia các TH vậy. Nhân tiện cho hỏi làm sao để có sự "thông thái" như bạn nhờ?
$\mathbb{VTL}$
#326
Đã gửi 22-05-2017 - 02:44
Đúng rồi bạn An Infinitesimal, bài này mình lấy từ báo THTT cũng chia các TH vậy. Nhân tiện cho hỏi làm sao để có sự "thông thái" như bạn nhờ?
Cố gắng tìm nghiệm đặc biệt nhưng mà không có Casio tạm được trong tay nên dùng p.m trong laptop !
Đời người là một hành trình...
#327
Đã gửi 24-05-2017 - 17:05
Bài toán: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+y-2)\\(x^{2}+y^{2})^{2}+1=x^{2}+2y \end{matrix}\right.$
- tritanngo99 và NHoang1608 thích
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#328
Đã gửi 25-05-2017 - 13:33
Bài toán: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+y-2)\\(x^{2}+y^{2})^{2}+1=x^{2}+2y \end{matrix}\right.$
Bằng vài nhát bút đã đâm được "thằng gian".
Giả sử hệ phương trình có nghiệm $(,y).$ Hiển nhiên, $x\neq 0.$
Khi đó, phương trình thứ nhất được viết lại là
\[4\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=x^2+y-y^3-2.\]
Hay
\[4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+y-y^3.\quad\quad\quad (***)\]
Vài nhận xét đánh giá cho phương trình thứ 2:
- $(x^2+y^2)^2+1=x^2+2y\le x^2+(y^2+1)$. Suy ra $x^2+y^2 \le 1.$
- Phương trình thứ 2 được viết lại như phương trình bậc 2 theo $x^2: x^4+(2y^2-1)x^2+y^4-2y+1=0.$
Từ điều kiện $\Delta\ge 0$, hay $-4y^2+8y-3\ge 0$, ta có $y\in \left[ \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].$
Từ các kết quả trên, ta đánh giá cho (***):
\[4\le 4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+(y-y^3) <2x^2+2+2y^2\le 4.\]
Vô lý.
Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 25-05-2017 - 13:36
- manhhung2013 và NTA1907 thích
Đời người là một hành trình...
#329
Đã gửi 25-05-2017 - 19:43
Bằng vài nhát bút đã đâm được "thằng gian".
Giả sử hệ phương trình có nghiệm $(,y).$ Hiển nhiên, $x\neq 0.$
Khi đó, phương trình thứ nhất được viết lại là
\[4\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=x^2+y-y^3-2.\]
Hay
\[4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+y-y^3.\quad\quad\quad (***)\]
Vài nhận xét đánh giá cho phương trình thứ 2:
- $(x^2+y^2)^2+1=x^2+2y\le x^2+(y^2+1)$. Suy ra $x^2+y^2 \le 1.$
- Phương trình thứ 2 được viết lại như phương trình bậc 2 theo $x^2: x^4+(2y^2-1)x^2+y^4-2y+1=0.$
Từ điều kiện $\Delta\ge 0$, hay $-4y^2+8y-3\ge 0$, ta có $y\in \left[ \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].$Từ các kết quả trên, ta đánh giá cho (***):
\[4\le 4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+(y-y^3) <2x^2+2+2y^2\le 4.\]
Vô lý.
Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.
Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ
Bài tiếp theo: Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#330
Đã gửi 25-05-2017 - 20:10
Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ
Cũng không mau để tìm được lời giải.
Khác với lần trước, lần này không dùng Casio, không dùng laptop để tìm nghiệm đặc biệt.
Các bước thử nghiệm và dần hiện ra lời giải một cách "vô thức" (không định trước):
1) Cố gắng tìm nghiệm đặc biệt nhưng không thể nào tìm thấy.
2) Cố gắng làm đơn giản và tìm cách "co" tập tìm kiếm.
3) Đánh gia ban đầu chỉ thu được: $y\ge \frac{1}{2}$ từ phương trình thứ 2.
4) Đặt ra câu hỏi: Liệu VP phương trình (***) có <4? ($VT\ge 4$). Chính lúc này, mình nghĩ có lẽ phương trình vô nghiệm.
5) Tìm thêm một đánh giá khác để trả lời cho câu hỏi ở 4). May mắn tìm được đánh giá phù hợp với nhận định.
- manhhung2013 yêu thích
Đời người là một hành trình...
#331
Đã gửi 25-05-2017 - 20:35
Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ
Bài tiếp theo: Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$
@all: Nhiều bạn quên đánh số các PT, HPT rồi!
ĐK: $y> 0, x>0$ (Nếu $y=0$ thì $x=0$, và $(0,0) $ không là nghiệm của hệ. Khi $y>0$ thì $x>0$.)
Phương trình thứ nhất được viết lại (các thành phần cùng bậc nằm cùng phía)
$3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}-8y^2=x^2y^2-4xy^3+4y^4.$
$\iff 3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}-8y^2= (xy-2y^2)^2.\quad\quad\quad (***)$
Có lẽ nào $VP\ge 0, VT\le 0$?
Ta sẽ khẳng định giả thiết này. Hơn nữa, dấu bằng đạt được khi $x=2y.$
Ta có
\[VT(***)= \frac{3}{2} x (2y)+2\frac{x}{2}\sqrt{5y^{2}-x^{2}} \le \frac{3}{4} (x^2+4y^2)+ \left(\frac{x^2}{4}+5y^2-x^2\right)=8y^2.\]
Với thông tin $x=2y>0$, phương trình thứ 2 được viết lại
\[2y+\sqrt{12-4y}=2y^2-2\sqrt{y}-4.\]
\[\iff \sqrt{y}+\sqrt{3-y}=y^2-y-2.\quad\quad\quad (*****)\]
Nhận xét: Từ (*****), ta có $y\ge 2.$
Dùng chức năng SOLVE (SHIFT-SOLVE) của Casio, ta tìm được một nghiệm xấp xỉ là $2.618****$, từ đó ta dùng chức năng Table (dò trong $[-5,5]$) để tìm lượng liên hiệp cho $\sqrt{y}$ và $\sqrt{3-y}$.
Từ đó, ta có lời giải cho phương trình (*****):
\[\left[\sqrt{y}-(y-1)\right]+\left[\sqrt{3-y}-(y-2)\right]=y^2-3y+1.\]
\[-\dfrac{y^2-3y+1}{\sqrt{y}+(y-1)}-\dfrac{y^2-3y+1}{\sqrt{3-y}+(y-2)}=y^2-3y+1.\]
\[\left[y^2-3y+1\right] \left[\dfrac{1}{\sqrt{y}+(y-1)}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+(y-2)}+1\right]=0.\]
Do đó $y^2-3y+1=0$ và $y\ge 2.$
Hay hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)=\left(3+\sqrt{5},\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right).$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 25-05-2017 - 21:06
- Chika Mayona yêu thích
Đời người là một hành trình...
#332
Đã gửi 26-05-2017 - 11:20
Bài 118: Giải phương trình:
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$
- HoangKhanh2002 yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#333
Đã gửi 27-05-2017 - 16:30
...
Triệu hồi L Lawliet.
Hỡi L Lawliet, đã bao lâu chúng ta không gặp nhau?
https://diendantoanh...x2sqrt10-3xx28/
Bài 118: Giải phương trình:
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$
Spoiler
https://diendantoanh...x2sqrt10-3xx28/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 27-05-2017 - 21:17
- NTA1907 và HoangKhanh2002 thích
Đời người là một hành trình...
#334
Đã gửi 28-05-2017 - 17:30
Bài 119: Giải phương trình:
$(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#335
Đã gửi 10-06-2017 - 09:55
topic trầm quá. Để tiếp tục topic, mình xin đề xuất bài toán sau:
Bài 120: Giải phương trình
$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
#336
Đã gửi 10-06-2017 - 13:25
topic trầm quá. Để tiếp tục topic, mình xin đề xuất bài toán sau:
Bài 120: Giải phương trình
$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$
Trầm là phải vì NAT1907 đã bắn hai phát súng làm mọi người chết điếng, do đó tất cả đều im tiếng. Hai bài đó không biết nghiệm có là nghiệm của một phương trình bậc 4 hệ số thực hay không? Đó là vấn đề mà mình đang "trầm tư".
Bài 200:
PT $$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$$ tương đương
\[2(e^{-x}-\pi)= \sin (2e^{-x}).\]
Đặt $t= 2(e^{-x}-\pi)$, phương trình trở thành $t-\sin t=0.$
Nhận xét: $f(t)=t-sin t$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Giải thích tương đối:
Do đó PT tương đương $f(t)=f(0)\iff t=0.$
Vì thế PT ban đầu tương đương $e^{-x}=\pi \iff x=-\ln \pi.$
- trambau yêu thích
Đời người là một hành trình...
#337
Đã gửi 16-06-2017 - 21:17
topic tiếp tục trầm lắng nên mình xin đề xuất 2 bài mới :
Bài 201: Giải phương trình
$\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$
Bài 202: giải phương trình
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$
- Drago yêu thích
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
#338
Đã gửi 17-06-2017 - 09:18
Bài 203: GPT $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$
$\mathbb{VTL}$
#339
Đã gửi 17-06-2017 - 09:27
Bài 202: giải phương trình
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$
Bình phương 2 vế ta được:
$2+2|x-1|=4(x-1)^8(2x^2-4x+1)^2(*)$
Đặt $y=|x-1|$, khai triển và rút gọn $(*)$ ta được:
$(y-1)(8y^{11}+8y^{10}+2y^7+2y^6+2y^5+2y^4+2y^3+2y^2+1)=0$, dễ chứng minh nhân tử thứ hai vô nghiệm nên suy ra $y=1$, từ đó $x \in {0;2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 16:49
$\mathbb{VTL}$
#340
Đã gửi 17-06-2017 - 13:40
topic tiếp tục trầm lắng nên mình xin đề xuất 2 bài mới :
Bài 201: Giải phương trình
$\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$
Bài 202: giải phương trình
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$
Bài 201:
"ĐK": $x\le -\sqrt{2}.$
Đặt $u=\sqrt{2-x^3}\quad\quad (u\ge 0), $ ta thu được hệ phương trình
\[\begin{cases} u^2+x^3=2,\\ x^2-u^3=2.\end{cases}\]
Đây là hệ đối xứng đối với $x$ và $-u$.
Trừ vế theo vế, ta thu được $u^2-x^2+x^3+u^3=0 \iff (u+x)(u-x+u^2-ux+x^2)=0.$
Với $x\le -\sqrt{2},$ tam thức bậc hai $u-x+u^2-ux+x^2$ 'theo ẩn $u$' có $\Delta<0.$
Do đó, ta thu được $x=-u.$
Vì thế, $x^2=2-x^3$. Phương trình này không có nghiệm $x\le -\sqrt{2}.$
Vậy PT ban đầu vô nghiệm.
- trambau và HoangKhanh2002 thích
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh