Đến nội dung

Hình ảnh

Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

* * * * - 17 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 375 trả lời

#321
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2y+y\sqrt{x}=4+\sqrt{y+1}\\\sqrt{x+1}+\sqrt{3y+1}=2+\sqrt{x+y}  \end{matrix}\right.$



#322
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2y+y\sqrt{x}=4+\sqrt{y+1}\\\sqrt{x+1}+\sqrt{3y+1}=2+\sqrt{x+y}  \end{matrix}\right.$

 

Bằng cái nhìn "xa xăm", ta thấy rằng $(x,y)=(2,1)$ là một nghiệm của HPT.

 

Hơn thế nữa, PT thứ 2 lộ diện 'thằng' $y-1$.

 

PT thứ 2 được viết lại:

\[\sqrt{3y+1}-2=\sqrt{x+y}-\sqrt{x+1} \iff \frac{3(y-1)}{\sqrt{3y+1}+2}=\frac{y-1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+1} }.\]

\[\iff y=1 \vee 3\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+1}=\sqrt{3y+1}+2.\]

 

Nhận xét: Từ phương trình thứ nhất, ta có $x> 0$ và suy ra $y>0.$

 

\[3\sqrt{x+y}+3\sqrt{x+1}> 3\sqrt{y}+3>\sqrt{3y+1}+2.\]

 

Do đó  $y=1$. Từ đó, ta có $x=2.$

 

Kiểm lại, ta thấy $(x,y)=(2,1)$ là nghiệm duy nhất của HPT.


Đời người là một hành trình...


#323
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Giải HPT

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=4y^{2}-5y+3x+4 \\\ 2y^{3}+z^{3}=4z^{2}-5z+6y+6 \\\ 3z^{3}+x^{3}=4x^{2}-5x+9z+8  \end{matrix}\right.$


$\mathbb{VTL}$


#324
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Giải HPT

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=4y^{2}-5y+3x+4 \\\ 2y^{3}+z^{3}=4z^{2}-5z+6y+6 \\\ 3z^{3}+x^{3}=4x^{2}-5x+9z+8  \end{matrix}\right.$

 

Bằng 'sự thông thái', ta nhận ra một nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2).$ Từ đó, ta nảy ra hướng đi sau.

 

Hệ phương trình tương đương

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x-2=-y^{3}+4y^{2}-5y+2 \\\ 2y^3 - 6y - 4=- z^3 + 4z^2 - 5z + 2\\\ 3z^3 - 9z - 6=- x^3 + 4x^2 - 5x + 2\end{matrix}\right.$$

 

$$\iff \left\{\begin{matrix} (x - 2)(x + 1)^2=-(y - 2)(y - 1)^2 \\\ 2(y - 2)(y + 1)^2=-(z - 2)(z - 1)^2 \\\ 3(z - 2)(z + 1)^2=-(x - 2)(x - 1)^2\end{matrix}\right.$$

Suy ra

\[6(x-2)(y-2)(z-2)(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=-(x-2)(y-2)(z-2)(x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2.\]

\[\iff (x-2)(y-2)(z-2) \left[6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2+ (x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2\right]=0.\]

 

Trường hợp 1: $ (x-2)(y-2)(z-2)=0$

Hiện tại chỉ có cách chia nhiều TH... chưa có cách gọn ràng.

 

Trường hợp 2:   $6(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2+ (x-1)^2(y-1)^2(z-1)^2=0$ và $ (x-2)(y-2)(z-2)\neq 0.$

 

Hiện tại chỉ có cách chia nhiều TH... chưa có cách gọn ràng.


Đời người là một hành trình...


#325
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Đúng rồi bạn An Infinitesimal, bài này mình lấy từ báo THTT cũng chia các TH vậy. Nhân tiện cho hỏi làm sao để có sự "thông thái" như bạn nhờ? :)


$\mathbb{VTL}$


#326
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Đúng rồi bạn An Infinitesimal, bài này mình lấy từ báo THTT cũng chia các TH vậy. Nhân tiện cho hỏi làm sao để có sự "thông thái" như bạn nhờ? :)

 

Cố gắng tìm nghiệm đặc biệt nhưng mà không có Casio tạm được trong tay nên dùng p.m trong laptop :D!


Đời người là một hành trình...


#327
manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết

Bài toán: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+y-2)\\(x^{2}+y^{2})^{2}+1=x^{2}+2y \end{matrix}\right.$


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#328
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài toán: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+y-2)\\(x^{2}+y^{2})^{2}+1=x^{2}+2y \end{matrix}\right.$

 

Bằng vài nhát bút đã đâm được "thằng gian". 

 

Giả sử hệ phương trình có nghiệm $(,y).$ Hiển nhiên, $x\neq 0.$

 

Khi đó, phương trình thứ nhất được viết lại là 

\[4\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=x^2+y-y^3-2.\]

Hay 

\[4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+y-y^3.\quad\quad\quad (***)\]

 

Vài nhận xét đánh giá cho phương trình thứ 2:

  • $(x^2+y^2)^2+1=x^2+2y\le x^2+(y^2+1)$. Suy ra $x^2+y^2 \le 1.$
  • Phương trình thứ 2 được viết lại như phương trình bậc 2 theo $x^2: x^4+(2y^2-1)x^2+y^4-2y+1=0.$
    Từ điều kiện $\Delta\ge 0$, hay $-4y^2+8y-3\ge 0$, ta có $y\in \left[ \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].$

Từ các kết quả trên, ta đánh giá cho (***):

\[4\le 4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+(y-y^3) <2x^2+2+2y^2\le 4.\]

Vô lý.

Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 25-05-2017 - 13:36

Đời người là một hành trình...


#329
manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết

Bằng vài nhát bút đã đâm được "thằng gian". 

 

Giả sử hệ phương trình có nghiệm $(,y).$ Hiển nhiên, $x\neq 0.$

 

Khi đó, phương trình thứ nhất được viết lại là 

\[4\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=x^2+y-y^3-2.\]

Hay 

\[4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+y-y^3.\quad\quad\quad (***)\]

 

Vài nhận xét đánh giá cho phương trình thứ 2:

  • $(x^2+y^2)^2+1=x^2+2y\le x^2+(y^2+1)$. Suy ra $x^2+y^2 \le 1.$
  • Phương trình thứ 2 được viết lại như phương trình bậc 2 theo $x^2: x^4+(2y^2-1)x^2+y^4-2y+1=0.$
    Từ điều kiện $\Delta\ge 0$, hay $-4y^2+8y-3\ge 0$, ta có $y\in \left[ \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].$

Từ các kết quả trên, ta đánh giá cho (***):

\[4\le 4\sqrt{x^2+1}=x^2+2+(y-y^3) <2x^2+2+2y^2\le 4.\]

Vô lý.

Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.

Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ

Bài tiếp theo: Giải HPT

$\left\{\begin{matrix} x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#330
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ

 

 

Cũng không mau để tìm được lời giải.

 

Khác với lần trước, lần này không dùng Casio, không dùng laptop để tìm nghiệm đặc biệt.

Các bước thử nghiệm và dần hiện ra lời giải một cách "vô thức" (không định trước):

1) Cố gắng tìm nghiệm đặc biệt nhưng không thể nào tìm thấy.

2) Cố gắng làm đơn giản và tìm cách "co" tập tìm kiếm.

3) Đánh gia ban đầu chỉ thu được: $y\ge \frac{1}{2}$ từ phương trình thứ 2.

4) Đặt ra câu hỏi:  Liệu VP phương trình (***) có <4? ($VT\ge 4$). Chính lúc này, mình nghĩ có lẽ phương trình vô nghiệm.

5) Tìm thêm một đánh giá khác  để trả lời cho câu hỏi ở 4). May mắn tìm được đánh giá phù hợp với nhận định.


Đời người là một hành trình...


#331
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Thật là thần thánh, làm sao anh(bạn) lại có thể giải nuột như vậy, chia sẻ bí quyết được không ạ

Bài tiếp theo: Giải HPT

$\left\{\begin{matrix} x(4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}})=y^{2}(x^{2}+4y^{2}+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^{2}-2\sqrt{y}-4 \end{matrix}\right.$

 

@all: Nhiều bạn quên đánh số các PT, HPT rồi!

 

ĐK: $y> 0, x>0$ (Nếu $y=0$ thì $x=0$, và $(0,0) $ không là nghiệm của hệ. Khi $y>0$ thì $x>0$.)

 

Phương trình thứ nhất được viết lại (các thành phần cùng bậc nằm cùng phía)

$3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}-8y^2=x^2y^2-4xy^3+4y^4.$

 

$\iff 3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}-8y^2= (xy-2y^2)^2.\quad\quad\quad (***)$

 

Có lẽ nào $VP\ge 0, VT\le 0$?

Ta sẽ khẳng định giả thiết này. Hơn nữa, dấu bằng đạt được khi $x=2y.$

Ta có 

\[VT(***)= \frac{3}{2} x (2y)+2\frac{x}{2}\sqrt{5y^{2}-x^{2}} \le \frac{3}{4} (x^2+4y^2)+ \left(\frac{x^2}{4}+5y^2-x^2\right)=8y^2.\]

 

Với thông tin $x=2y>0$, phương trình thứ 2 được viết lại

\[2y+\sqrt{12-4y}=2y^2-2\sqrt{y}-4.\]

\[\iff \sqrt{y}+\sqrt{3-y}=y^2-y-2.\quad\quad\quad (*****)\]

Nhận xét: Từ (*****), ta có $y\ge 2.$

 

Dùng chức năng SOLVE (SHIFT-SOLVE) của Casio, ta tìm được một nghiệm xấp xỉ là  $2.618****$, từ đó ta dùng chức năng Table (dò trong $[-5,5]$) để tìm lượng liên hiệp cho $\sqrt{y}$ và $\sqrt{3-y}$. 

Từ đó, ta có lời giải cho phương trình (*****):

\[\left[\sqrt{y}-(y-1)\right]+\left[\sqrt{3-y}-(y-2)\right]=y^2-3y+1.\]

\[-\dfrac{y^2-3y+1}{\sqrt{y}+(y-1)}-\dfrac{y^2-3y+1}{\sqrt{3-y}+(y-2)}=y^2-3y+1.\]

 

\[\left[y^2-3y+1\right] \left[\dfrac{1}{\sqrt{y}+(y-1)}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+(y-2)}+1\right]=0.\]

Do đó $y^2-3y+1=0$ và $y\ge 2.$

Hay hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)=\left(3+\sqrt{5},\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right).$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 25-05-2017 - 21:06

Đời người là một hành trình...


#332
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 118: Giải phương trình:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

Spoiler


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#333
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

...

 

 

Triệu hồi L Lawliet.

Hỡi L Lawliet, đã bao lâu chúng ta không gặp nhau?

 

 

 

https://diendantoanh...x2sqrt10-3xx28/

 

 

 

Bài 118Giải phương trình:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

Spoiler

 

 

https://diendantoanh...x2sqrt10-3xx28/

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 27-05-2017 - 21:17

Đời người là một hành trình...


#334
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Bài 119: Giải phương trình:

$(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

 

Spoiler

                                                                                                                                                                                                                                                           


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#335
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

topic trầm quá. Để tiếp tục topic, mình xin đề xuất bài toán sau:

Bài 120: Giải phương trình

$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#336
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

topic trầm quá. Để tiếp tục topic, mình xin đề xuất bài toán sau:

Bài 120: Giải phương trình

$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$

 

Trầm là phải vì NAT1907 đã bắn hai phát súng làm mọi người chết điếng, do đó tất cả đều im tiếng. Hai bài đó không biết nghiệm có là nghiệm của một phương trình bậc 4 hệ số thực hay không? Đó là vấn đề mà mình đang "trầm tư".

 

Bài 200:

PT $$e^{-x}-sin(e^{-x})cos(e^{-x})-\pi =0$$ tương đương

\[2(e^{-x}-\pi)= \sin (2e^{-x}).\]

Đặt $t= 2(e^{-x}-\pi)$, phương trình trở thành $t-\sin t=0.$

Nhận xét: $f(t)=t-sin t$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Giải thích tương đối:

 

Do đó PT tương đương $f(t)=f(0)\iff t=0.$

Vì thế PT ban đầu tương đương $e^{-x}=\pi \iff x=-\ln \pi.$


Đời người là một hành trình...


#337
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

topic tiếp tục trầm lắng nên mình xin đề xuất 2 bài mới :

Bài 201: Giải phương trình 

$\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

Bài 202: giải phương trình 

$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#338
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Bài 203: GPT $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$


$\mathbb{VTL}$


#339
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Bài 202: giải phương trình 

$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$

Bình phương 2 vế ta được: 

$2+2|x-1|=4(x-1)^8(2x^2-4x+1)^2(*)$

Đặt $y=|x-1|$, khai triển và rút gọn $(*)$ ta được:

$(y-1)(8y^{11}+8y^{10}+2y^7+2y^6+2y^5+2y^4+2y^3+2y^2+1)=0$, dễ chứng minh nhân tử thứ hai vô nghiệm nên suy ra $y=1$, từ đó $x \in {0;2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 16:49

$\mathbb{VTL}$


#340
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

topic tiếp tục trầm lắng nên mình xin đề xuất 2 bài mới :

Bài 201: Giải phương trình 

$\sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

Bài 202: giải phương trình 

$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$

 

Bài 201:

"ĐK": $x\le -\sqrt{2}.$

 

Đặt $u=\sqrt{2-x^3}\quad\quad (u\ge 0), $ ta thu được hệ phương trình

\[\begin{cases} u^2+x^3=2,\\ x^2-u^3=2.\end{cases}\]

Đây là hệ đối xứng đối với $x$ và $-u$.

Trừ vế theo vế, ta thu được $u^2-x^2+x^3+u^3=0 \iff (u+x)(u-x+u^2-ux+x^2)=0.$

Với $x\le -\sqrt{2},$ tam thức bậc hai $u-x+u^2-ux+x^2$ 'theo ẩn $u$' có $\Delta<0.$ 

Do đó, ta thu được $x=-u.$

Vì thế, $x^2=2-x^3$. Phương trình này không có nghiệm $x\le -\sqrt{2}.$

 

Vậy PT ban đầu vô nghiệm.


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh