Chủ đề này có 3 trả lời

[vietantran]

Cho 3 số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=3$

Chứng minh:$$\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1} \ge \frac 32$$

[leminhnghiatt]

Cho 3 số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=3$

Chứng minh:$$\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1} \ge \frac 32$$

 

$3-A=\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}$

 

$\rightarrow 3-A \leq \sum \dfrac{x^2}{2x}= \sum \dfrac{x}{2}= \dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}$

 

$\rightarrow A \geq 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=z=1$

[Master Kaiser]

Cho 3 số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=3$

Chứng minh:$$\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1} \ge \frac 32$$

Ta có : $\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1-x^{2}}{x^{2}+1}=1-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương , ta có : $x^{2}+1\geq 2\sqrt{x^{2}}=2x$

Suy ra : $\frac{1}{x^{2}+1}\geq 1-\frac{x}{2}$

CMTT , ta được : $\frac{1}{y^{2}+1}\geq 1-\frac{y}{2}$

                            $\frac{1}{z^{2}+1}\geq 1-\frac{z}{2}$

Do đó , $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\geq 1-\frac{x}{2}+1-\frac{y}{2}+1-\frac{z}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\geq 3-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

[KietLW9]

Cho 3 số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=3$

Chứng minh:$$\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1} \ge \frac 32$$

Xét hiệu: $\frac{1}{x^2+1}-\frac{-x+2}{2}=\frac{x(x-1)^2}{2(x^2+1)}\geqslant 0\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}\geqslant \frac{-x+2}{2}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac 1{x^2+1}+\frac 1{y^2+1}+\frac 1{z^2+1}\geqslant \frac{-(x+y+z)+6}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$